Виды дробей

       Виды дробей

Обыкновенные дроби

Наглядное представление дроби 

Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде   или   где  Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.

]Обозначения обыкновенных дробей

Есть несколько  видов записи обыкновенных дробей в  печатном виде:

• ½
• 1/2 или   (наклонная черта называется «солидус»^[2])
• выключая формула:   (горизонтальная черта называется Винкулум (англ.))
• строчная формула: 

]Правильные и неправильные дроби

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной, и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.

Например, дроби  ,   и   — правильные дроби, в то время как  ,  ,   и   — неправильные дроби. Всякое целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.

Смешанные дроби

Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.

Например,  . В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь, а также из-за более громоздкой записи и менее удобных вычислений.

Высота дроби

Высота  обыкновенной дроби — модуль суммы числителя и знаменателя этой дроби. Высота рационального числа — модуль суммы числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу.

Например, высота дроби   равна  . Высота же соответствующего рационального числа равна  , так как дробь сокращается на  .

Составные дроби

Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:

 или   или 

Десятичные дроби

Основная  статья: Десятичная дробь

Десятичной  дробью называют позиционную запись дроби. Она выглядит следующим образом:

Пример:  .

Часть записи, которая стоит  до позиционной запятой, является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью.

Вообще говоря, для позиционной  записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и  специфические, такие, как фибоначчиева).

Значение дроби и основное свойство дроби

Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.

Если умножить числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:

то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные. Например:

И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют общий делитель, то обе части можно разделить на него; такая операция называется сокращением дроби. Пример:

 — здесь числитель и знаменатель  дроби сократили на общий

делитель 4.

Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты, т. е. не имеют общих делителей, кроме 

Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, однако имеются исключения. 

Пример:

 — две разные дроби соответствуют  одному числу.

Действия над дробями

В этом разделе  рассматриваются действия над обыкновенными  дробями. О действиях над десятичными  дробями см. Десятичная дробь.

Приведение к общему знаменателю

Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует  преобразовать (привести) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби:   и  . Порядок действий:

• Находим наименьшее общее кратное знаменателей:  .
• Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на  .
• Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на  .

После этого  знаменатели обеих дробей совпадают (равны M). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве M любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.

Сравнение

Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с большим числителем будет больше.

Пример. Сравниваем   и  . НОК(4, 5) = 20. Приводим дроби к знаменателю 20.

Следовательно, 

Сложение и вычитание

Чтобы сложить  две обыкновенные дроби, следует  привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:

 +   =   +   = 

НОК знаменателей (здесь 2 и 3) равно 6. Приводим дробь   к знаменателю 6, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 3. 
Получилось  . Приводим дробь   к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 2. Получилось  . 
Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:

 —   =   —   = 

НОК знаменателей (здесь 2 и 4) равно 4. Приводим дробь   к знаменателю 4, для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2. Получаем  .

Умножение и деление

Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить  их числители и знаменатели:

В частности, чтобы  умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а  знаменатель оставить тем же:

В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:

Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую на дробь, обратную второй:

Например,

Преобразование между разными форматами записи

Чтобы преобразовать  обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной периодической дробью. Примеры:

 — бесконечно повторяющийся

период принято  записывать в круглых скобках.

Чтобы преобразовать  десятичную дробь в дробь обыкновенную, следует представить её дробную  часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример: