Вычисление предельной функции

      Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной Х, при которой каждому значению переменной Х соответствует единственное значение переменной У.

Переменную Х называют независимой переменной или аргументом.

Переменную У называют зависимой переменной.

 Говорят также,  что переменная У является функцией от переменной Х.

 Значения зависимой  переменной называют значениями  функции.

Пример 

y=cos x

y=x³-2x²

z=f (t)

L (t)=L₀(1+_at)

Алгоритм  нахождения производной

 

1) С помощью формулы,  задающей функцию , находим ее приращение в точке xQ:

 

 

 

2) Находим выражение  для разностного отношения :

 

 которое затем преобразуем  — упрощаем, сокращаем на и  т. п.

 

3) Выясняем, к какому  числу стремится , если считать,  что  х стремится к нулю.

 

 Найденное таким образом число иногда называется (по аналогии с физикой) скоростью изменения функции f в точке х₀ или (что более принято) производной функции f в точке х₀.

 

Определение. Производной  функции f в точке х0 называется число, к которому стремится разностное отношение  при , стремящемся к нулю.

 

Обозначение производной  функции f в точке х₀:f '(х₀).Читается: «Эф штрих от х₀»).

 

Определение: Функцию, имеющую производную в точке х₀, называют дифференцируемой в этой точке. Нахождение производной данной функции f

 

 называется дифференцированием.

Геометрический  смысл производной

Геометрический смысл производной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Рассмотрим график функции y  = f (x):

Из рис.1 видно, что для любых  двух точек A и B графика функции: xf(x₀+ x)−f(x₀)/ x=tga, где a - угол наклона секущей AB.

 Таким образом, разностное  отношение равно угловому коэффициенту  секущей. 

 Если зафиксировать точку  A и двигать по направлению к ней точку B, то x  неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС.

 Следовательно, предел разностного  отношения равен угловому коэффициенту  касательной в точке A.

 Отсюда следует:

производная функции  в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке.

 

 

 

 

 

Уравнение касательной к графику функции

 

Определение

 

Пусть дана функция f, которая  в некоторой точке x0 имеет конечную производную f (x0). Тогда прямая, проходящая через точку (x0; f (x0)), имеющая угловой коэффициент f ’(x0), называется касательной.

 

А что будет, если производная  в точке x0 не существует? Возможны два  варианта:

Касательная к графику  тоже не существует. Классический пример — функция y = |x| в точке (0; 0).

Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin x в точке (1; π/2).

Уравнение касательной

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b, где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x0, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

 

Итак, пусть дана функция y = f (x), которая имеет производную y = f ‘(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x₀ ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

 

y = f ’(x₀) · (x − x₀) + f (x₀)

 

Здесь f ’(x₀) — значение производной в точке x₀, а f (x₀) — значение самой функции.

Задача

 

Дана функция y = x³. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x₀ = 2.

Решение

 

Уравнение касательной: y = f ’(x₀) · (x − x₀) + f(x0). Точка x₀ = 2 нам дана, а вот значения f (x₀) и f ’(x₀) придется вычислять.

 

Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x₀) = f (2) = 23 = 8;

 Теперь найдем производную: f’(x) = (x³)’ = 3x²;

 Подставляем в производную x₀ = 2: f ’(x₀) = f ’(2) = 3 · 22 = 12;

 Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.

Это и есть уравнение  касательной.

Ответ:

y = 12x − 16

 

Формулы дифференцирования

 

Общие формулы  дифференцирования (10 шт)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формулы дифференцирования, производные основных элементарных функций (20 шт)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Основные  правила дифференцирования

 

Пусть , тогда:

Если  , то есть , где и имеют производные, то (правило дифференцирования сложной функции).

 

Примеры:

 

 

 

 

 

 

 

 

Сложная функция

   Если функция  y зависит от переменной u, т. е. у = f (u), u  U, а u, в свою очередь, является какой - либо функцией от независимой переменной х, т. е u = g (x), х∈ Х, то переменная у называется функцией от функции (или сложной функцией) от x и записывается в виде Y = f (u), u = g (x), или y = f [g (x)].

   Область определения  сложной функции - это множество  тех значений х  X, для которых  функция g (x) определена, кроме того, значения u принадлежат области определения функции y = f (u).

    П р и  м е р 3. Функция y= является сложной. Здесь y = √ u и u = x² − 2x − 3.

    Функция u = x² − 2·x − 3 определена на всей числовой прямой, т. е. x ∈ R. В область определения функции y = f (x) входят лишь те значения х, для которых подкоренное выражение неотрицательно x2 − 2·x − 3 ≥ 0, поэтому х ≤ − 1 и х ≥ 3. Следовательно, D = (− ∞, 1] [3, + ∞) . На интервале [− 1, 3] заданная функция не существует.

   Из определения следует,  что сложная функция у = f [g (x)] может быть представлена в виде цепочки простых функций: у = f (u), u = g (x). Переменную u принято называть промежуточным аргументом в отличие от независимой переменной х.

 

Дифференцирование сложной функции

 

Дифференцирование сложной  функции позволяет вычислять производную композицию двух и более функции на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке y₀=f(x), то сложная функция h(x)=g(f(x)) также имеет производное в точке x₀

Пример:

h (x)=(3x²-5x)⁷

f (x)=3x⁵-5x

g (y)=y⁷

f’(x)=6x-5

g’(y)=7y⁶

h’(x)=7(3x²-5x)⁶*(6x-5)