Геометрический материал в начальной школе

В процессе обучения возникает потребность применения геометрической и логической терминологии, символики, чертежей. Так, уже во 2 классе введение буквенной символики помогает не только различать фигуры и их элементы, но и является одним из средств формирования обобщений. Например, запись ОК< 5 см говорит о том, что отрезок ОК – любой отрезок, имеющий длину меньшую, чем 5 см.

Как показывает опыт обучения математики в 1-3 классах, под влиянием той легкости и интереса, с которыми учащиеся 1-3 классов воспринимают не только очевидные простые, но иногда трудные геометрические факты, учитель начинает недооценивать наглядный и практический подход к изучению геометрического материала, не выполняет минимума упражнений, помещенных в учебнике, обращает мало внимания на формирование практических навыков. Такой учитель встает на неверный и опасный путь формального ознакомления младших школьников с геометрическими фигурами. Он начинает знакомить детей с фигурами не путем их наблюдения, изготовления из бумаги и вычерчивания, а сообщая формальное определение, только словесным способом.

Например, учитель сообщает детям то определение понятия отрезка, которое ему самому запомнилось из школьного курса геометрии, думая, что этого будет достаточно для создания необходимого представления об отрезке.

Такой подход преждевремен. И если дети что-то и выносят из устного объяснения, то положительно воздействовать на них при этом будут не столько слова учителя, сколько показ чертежа отрезка. Более того, учитель должен хорошо помнить, что определить понятие – это значит точно выделить тот класс объектов, который охватывает данным понятием. Для этого мы должны знать все существенные признаки определяемого понятия и проверить, обладает данный объект всеми этими признаками или не обладает. Поэтому для этого, чтобы понять определение отрезка, сообщаемое учителем, ребенок должен иметь отчетливые представления о прямой линии и ее свойствах, о некоторых точках прямой, которые в данном случае «ограничивают отрезок и принадлежат отрезку». Но и этого мало. Если учитель сообщает детям, что «отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя точками», то может возникнуть различное истолкование данного предложения в связи с его неточностью. Действительно, о какой части прямой идет речь – о той, точки, которые принадлежат прямой и лежат между граничными точками; или о той части прямой, которая включает все точки прямой, кроме точек, лежащих между граничными (два луча). Как много должен знать ученик, чтобы в этом случае понять учителя! Другое определение отрезка, которое, к сожалению, часто используют учителя: «Отрезком называется часть прямой, ограниченная с двух сторон», обладает еще большими недостатками.

Учитель не пойдет по такому пути, если будет и учитывать, что в процессе определения понятия каждый раз одно понятие (например, «квадрат») определяется через другое, более широкое («прямоугольник»), которое в свою очередь так же может быть определено через еще более широкое понятие («параллелограмм», «четырехугольник», «многоугольник»). Такую цепь определений нельзя продолжить бесконечно. В конце концов, мы приходим к понятиям, наиболее широким и общим, для которых невозможно указать ближайший род. Такие понятия называют основными (первичными и неопределенными).

Учитель должен хорошо представлять, что наличие основных (неопределяемых) понятий, как в науке геометрии, так и в школьном курсе геометрии неизбежно. Поэтому, например, он совершит грубую математическую ошибку, если будет ставить такие вопросы: «Что называется плоскостью?», «Что называется прямой линией?», «Что называется точкой?» и т.п., так как эти понятия основные, они не определяются через указание рода и видового отличия.

Нужно иметь в виду, что в школьном курсе геометрии по мере овладения учащимися геометрическими представлениями, от класса к классу система основных понятий меняется. В младших классах эта система более обширна. Например, в 1-3 классах такие понятия как «отрезок», «многоугольник», «угол» и т.п., являются неопределенными. Но уже в 4 классе они определяются. Из этого следует, что учащимся начальных классов не имеет смысла задавать вопрос: «Что называется (что такое) отрезком? Что называется многоугольником? Что называется углом?» и т.п. Так как понятия «отрезок», «многоугольник», «угол» являются здесь неопределенными, но уже можно ставить вопрос: «Что называется треугольником (четырехугольником, пятиугольником)?» Дети могут отвечать на этот вопрос примерно так: «Треугольник – это многоугольник, у которого три угла (вершины, стороны)». Здесь можно давать несколько избыточное определение прямоугольника как четырехугольника, у которого все углы прямые.

Попытки ранней формализации при ознакомлении младших школьников с геометрическими фигурами приводят к завышению программных требований, к недостаточному, а иногда и неверному усвоению материала.

Они путали отрезок (2) и прямую (14), четырехугольник (8) и замкнутую ломаную линию (9).

Как правило, более высокого уровня усвоения достигают те учителя, которые, понимая самостоятельную значимость геометрических знаний, стремятся осуществить связь изучения геометрического материала с другим материалом начального курса математики. В основе этой связи лежит возможность установления отношений между числом и фигурой, свойствами чисел и свойствами фигур. Это позволяет использовать фигуры при формировании понятия числа, свойства чисел, операций над ними и наоборот использовать числа для изучения свойств геометрических образов и их отношений.

В 1 классе фигуры следует применять наряду с другими материальными вещами как объекты для перечисления. Несколько позже такими объектами должны стать элементы фигур, например вершины, стороны, углы многоугольников. Учащиеся постепенно знакомятся с измерением отрезков. Это устанавливается прямая связь между отрезками (точками) и числами.

Геометрические фигуры используются при ознакомлении учащихся с долями. В указанных выше случаях открывается больше возможностей органически связать изучение геометрических объектов с арифметическим материалом, включенным в курс математики для 1-3 классов.

Уже в 1-3 классах выполняются простейшие классификации углов (прямые и непрямые), многоугольников (по числу углов) и т.д. Изучение родовых и видовых понятий готовит детей к пониманию определений, построенных на указании рода и видовых отличий.

Это дает, например, возможность построить методику ознакомление с прямоугольниками таким образом, что в дальнейшем ученики усваивают, что любой квадрат есть прямоугольник.

Использование упражнений, в которых дети отмечают (выделяют) точки, принадлежащие или не принадлежащие фигуре или нескольким фигурам, помогает в дальнейшем трактовать геометрическую фигуру как множество точек. А это позволяет более осознанно выполнять операции деления фигуры на части или получение фигуры из других (складывание), т.е. выполнять по существу операции объединения, пересечения, добавления над точечными множествами.

Важной общей методической линией осуществления связи в изучении геометрического материала с остальными вопросами курса начальной математики является, таким образом, неявная опора на теоретико-множественные и простейшие логико-математические представления в изучении фигур, их отношений, свойств.

Общим методическим приемом, обеспечивающим прочные геометрические знания, является формирование пространственных представлений через непосредственное восприятие учащимися конкретных реальных вещей; материальных моделей геометрических образов. В 1 классе пространственные представления вырабатываются в процессе приобретения детьми практического опыта при изучении отношений взаимного положения предметов, выражаемых словами «выше», «ниже», «справа», «сверху», «спереди», «сзади» и т.д. Во 2-3 классах характер работы по формированию пространственных представлений усложняется. Например, представления об одной фигуре формируется с опорой на другую. Так, опираясь на представления о треугольнике вообще, можно получить представления о прямоугольном треугольнике.

Учитель должен систематически проводить работу по формированию умений и навыков применения чертежных и измерительных инструментов, построению изображений геометрических фигур, умений описывать словесно процесс работы, выполняемой учеником, и ее результат, умений применять усвоенную символику и терминологию. Важным методическим условием реализации этой системы является сначала осознание выполнения действий и лишь за тем автоматизация этих действий.

Результатом обучения в 1-3 классах должно быть формирование первоначальных представлений о точности построений и измерений.

В 1 классе учащиеся овладевают навыками измерения и построения отрезков с помощью линейка (с точностью до 1 см). При этом детям предъявляется не меньшее требования, тем это обычно делается, например, в отношении навыков письма.

Во 2-3т классах в практику измерений и построений постепенно вводятся новые инструменты: циркуль, циркуль – измеритель, чертежный треугольник, рулетка. Повышаются требования к точности построений и измерений, качеству чертежей и моделей, выполняемых детьми, к описанию хода и результатов проделанной работы.

Работа по формированию навыков должна проводиться распределенно и постепенно, почти на каждом уроке (и не только на уроках математики). Это создает условие для более частого применения этих навыков в учебной и практической деятельности, обеспечивает необходимую их прочность.

Для правильного выбора методики обучения младших школьников, учитель должен иметь общие представления о системе задач, предоставленных в учебниках. Эта система включает в каждом классе задачи:

А) в которых геометрические фигуры используются как объекты для пересчитывания (круги, многоугольники, элементы многоугольников). При решении таких задач в основном усваивается необходимая терминология и образуется умение узнавать и различать фигуры;

Б) связанные с формированием представлений о геометрических величинах (длине, площади) и навыков измерения отрезков, площадей, фигур;

В) вычислительные, связанные с нахождением периметра многоугольников, площади прямоугольника;

Г)  на элементарное построения геометрических фигур на клетчатой бумаге, на гладкой нелинованной бумаги с помощью линейки, угольника, циркуля (без учета размеров);

Д) на элементарное построение фигур заданными параметрами (треугольник с прямым углом, прямоугольник с заданными сторонами и т.д.);

Е)  на классификацию фигур;

Ж) на деление фигур на части (в том числе на ровные части) и на составление фигур из других;

З) связанные с формированием основных навыков чтения геометрических чертежей, использованием буквенных обозначений (формированием «геометрической зоркости»);

И) на вычисление геометрической формы предметов или их частей.

2.5. Методика  изучения геометрического материала  в начальной школе.

Геометрический материал достаточно равномерно распределён по урокам.

Первая единица измерения, с которой знакомится первоклассник – сантиметр.

Важным этапом в формировании представлений отрезков является использования для этого модели одного сантиметра: узкую бумажную полоску длинной в 1 см., кусочек спички в 1 см., кубик из арифметического ящика с ребром 1 см. Подчеркнуть, что общие для всех рассмотренных предметов является то, что их длина равна 1 см.

Так же они должны представить см. наглядно. Учитель говорит, что две клеточки в тетради = 1 см, ширина мизинца 1 см.

С помощью модели сантиметра ученик должен научиться решать две задачи.

Задача № 1. Измерить данных отрезок. При выполнении этого задание учитель следит, чтобы каждый научился:

Точно приложил конец модели сантиметра к одному из концов измеряемого отрезка.

С помощью карандаша на измеряемом отрезке, отметил другой конец модели сантиметра.

Приложил снова к полученной отметке один из концов модели сантиметра и на отрезке сделал ещё одну отметку. Вторая отметка показывает то, что отсчитаны 2 см. Аналогично поступаем до тех пор, пока последняя из отметок совпадёт с другим концом измеряемого отрезка. В этом случае ученик, подсчитав число отложенных на отрезке сантиметров(число сделанных шагов), получит длину отрезка(в сантиметрах).

Эту задачу можно решить и с помощью укладывания вдоль измеряемого отрезка нескольких моделей сантиметра.

Задача № 2. С помощью модели сантиметра построить отрезок заданной длины.

При выполнении этой задачи необходимо следить за тем, чтобы каждый из учащихся:

Вначале провёл по линейке прямую линию или выбрал какую-нибудь линию на листе тетради.

Отметил на прямой точку(один из концов отрезка) и в каком – ни будь направлении от неё последовательно отложил (каждый раз отмечал карандашом) нужное количество сантиметров.

Отмерил карандашом второй конец отрезка.

Опыт показывает, что выполнение этих операций, особенно на первых порах, связанно с большими трудностями для учащихся. Это объясняется отсутствием у них навыков владения карандашом и небольшой моделью сантиметра (мышцы пальцев ещё недостаточно тренированы).

Именно поэтому с целью получения важных для дальнейшей работы навыков необходимо достаточно долго и систематически повторять указанные упражнения. Процесс откладывания модели сантиметра «прошагивание» от одного конца до другого конца отрезка – создаётся у детей те представления, которые в дальнейшем предотвратят многие ошибки, встречающихся при измерениях.

На следующем этапе формирования навыков измерения отрезков упомянутых выше две задачи решаются с помощью масштабной линейки, на которой не нанесены цифры. Построение отрезков следует связать с приобретением навыков обращения с чертёжными инструментами (линейка, угольник, циркуль). Чертёж – это язык техники. В начале при вычерчивание отрезков в тетради концы отрезков могут совпадать с точками пересечения линии листа тетради. Ученики отмечают две точки, прикладывают линейку, в зависимости от расположения точек. Позднее точки, обозначающие концы отрезков, могут быть поставлены вне линий листа тетради. Это готовит детей к вычерчиванию отрезков на нелинованной бумаге.