Графічний метод розв’язування ЗЛП

Міністерство  освіти і науки, молоді та спорту України

 

Коледж вищого навчального закладу

«Київський  університет ринкових відносин»

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат на тему:

Графічний метод розв’язування ЗЛП

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                   

 

 

                                                                                                                    Виконала:

                                                                                                                    Студентка 3 курсу

                                                                                                                    Групи КОВ 01/11

                                                                                                                    Пінчук Олександра

                                                                                                                   

 

 

 

 

 

Київ - 2013

 

 

 

План

 

1. Геометрична інтерпретація ЗЛП.

2. Графічний метод  розв’язування ЗЛП.

3. Приклад розв’язування  ЗЛП графічним методом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Геометрична інтерпретація  ЗЛП.

 

Розглянемо  на площині x₁Ox₂ сумісну систему лінійних нерівностей:

    (1)

Кожна нерівність цієї системи геометрично  визначає півплощину з граничною  прямою . Умови невід’ємності змінних визначають півплощини з граничн6ими прямими х₁=0 та х₂=0. Система сумісна, тому півплощини як опуклі множини, перетинаючись, утворюють спільну частину, що є опуклою множиною і являє собою сукупність точок, координати кожної з яких є розв’язком даної системи (рис. 1).

 

Рис. 1.

Сукупність цих точок називають (розв’язків) називають багатокутником розв’язків, або областю допустимих планів (розв’язків) ЗЛП. Це може бути точка (єдиний розв’язок), відрізок, промінь, багатокутник, необмежена багатокутна область.

Якщо у системі  обмежень (1) буде три змінних, то кожна  нерівність геометрично визначатиме півпростір тривимірного простору, граничними площинами котрого будуть .

І в залежності від кількості змінних геометрично  буде визначатись скільки мірне  буде простір у якому буде знаходитись  область допустимих планів.

 

2. Графічний  метод розв’язування ЗЛП.

 

Для розв’язування  двовимірних задач лінійного  програмування, тобто задач із двома  змінними, а також деяких тривимірних  задач застосовують графічний метод, що ґрунтується на геометричній інтерпретації  та аналітичних властивостях задач ЛП. Обмежене використання графічного методу пов’язано з складністю побудови багатокутника розв’язку для тривимірного простору, а для кількості змінних більше трьох взагалі неможливо.

Розглянемо  задачу.

Знайти 

   (2)

за умов:

   (3)

    (4)

 

Припустимо, що система (3) за умов (4) сумісна  і багатокутник її розв’язків обмежений.

Система обмежень (3) графічно можна  зобразити спільну частину, або  переріз усіх зазначених півплощин, тобто множину точок, координати яких, задовольняють всі обмеження задачі – багатокутник розв’язків.

Умова (4) невід’ємності змінних  означає, що область припустимих  розв’язків задачі належить першому  квадрату системи координат двовимірного простору. Цільова функція задачі лінійного програмування геометрично інтерпретується як сім’я паралельних прямих =const.

Ґрунтуючись на властивостях ЗЛП, розв’язати ЗЛП графічно означає знайти таку вершину багатокутника розв’язків, у результаті підстановки координат якої в (2) лінійна цільова функція набуває найбільшого (найменшого) значення.

Алгоритм графічного методу розв’язування задачі лінійного програмування складається з таких кроків:

1. Будуємо прямі, рівняння яких дістаємо заміною в обмеженнях задачі (3) знаків нерівностей на знаки рівностей.
2. Визначаємо півплощини, що відповідають кожному обмеженню задачі.
3. Знаходимо багатокутник розв’язків ЗЛП.
4. Будуємо вектор , що задає напрям зростання значення цільової функції задачі.
5. Будуємо пряму =const, перпендикулярну до вектора .
6. Рухаючи пряму =const  напрямку вектора (для задачі максимізації) або в протилежному напрямку (для задачі мінімізації), знаходимо вершину багатокутника розв’язків, де цільова функція набуває екстремального значення.
7. Визначаємо координати точок, в якій цільова функція набирає максимального (мінімального) значення, і обчислюємо екстремальне значення цільової функції в цій точці.

 

У разі застосування графічного методу можливі таки варіанти розв’язку  ЗЛП:

1. Цільова функція набирає максимального значення в єдиній вершині А багатокутника розв’язків (рис. 2).

2. Максимального значення цільова функція досягає в будь-якій точці відрізка АВ. Тоді ЗЛП має альтернативні оптимальні плани.

3. Задача лінійного програмування не має оптимальних планів: якщо цільова функція необмежена згори або система обмежень задачі несумісна.

  

 

 

 

 

4. ЗЛП має оптимальний план за необмеженої області допустимих розв’язків.

Розв’язувати графічним методом можна також ЗЛП n-вимірного простору, де n>3, якщо при зведенні системи нерівностей задачі д системи рівнянь шляхом введення додаткових змінних  кількість змінних n  на дві більше, ніж число обмежень m, тобто n–m=2.

Тоді, як відомо з курсу вищої  математики, можна дві з n змінних, наприклад x₁ та x₂, вибрати як вільні, а інші m зробити базисними і виразити через вільні. Припустимо, що це зроблено. Отримаємо m= n-2 рівнянь вигляду:

Оскільки всі значення , то мають виконуватись умови:

   (5)

Припустимо, що в задачі потрібно знайти максимальне значення функції:

Підставивши вирази для  з (5) у цей функціонал, зведемо подібні доданки отримаємо вираз лінійної функції F всіх n змінних лише через дві вільні змінні х₁ та х₂:

де  – вільний член, якого в початковому вигляді функціонала не було.

Очевидно, що лінійна функція  досягає свого максимального значення за тих самих значень х₁ та х₂, що й Отже, процедура відшукання оптимального плану з множини допустимих далі здійснюється за алгоритмом для випадку двох змінних.

 

3. Приклад розв’язування  ЗЛП графічним методом.

 

Розв’язати графічним методом ЗЛП

 

Розв’язання.

Маємо n=7 – кількість змінних, m=5 – кількість обмежень. Виберемо як вільні змінні х₁ та х₂ і виразимо через них всі інші базисні змінні. З першого рівняння маємо:

     (*)

З третього рівняння:

,     (**)

а з четвертого:

     (***)

Підставляючи (*) в друге рівняння системи і (***) в останнє, розв’язуємо  їх відносно х₄ та х₇. Отримаємо:

Далі за алгоритмом беремо х₁=0 та х₂=0 – координатні осі; інші обмежуючі прямі знаходимо, узявши х₃=0, х₄=0, х₅=0, х₆=0, х₇=0. Багатокутник допустимих розв’язків зобразимо на рис.

Знайдемо вигляд функціонала, вираженого через х₁ та х₂. Для цього знайдені щойно вирази для х₃, х₄, х₅, х₆ та х₇ через вільні змінні х₁ і х₂ підставимо у функціонал і, звівши подібні члени, отримаємо: . Відкидаючи вільний член, маємо: . Будуємо вектор (-5,-2), перпендикулярно до нього –пряму . Рухаючи пряму в напрямку, протилежному (необхідно знайти мінімальне значення функції F), отримаємо точку мінімуму – А.

 

У точці А перетинаються 2 обмежуючі прямі: х₆=0 та х₇=0. Отже для відшукання її координат необхідно розв’язати систему рівнянь:

Розв’язком системи є х^*₁=8,5; х^*₂=5. Підставивши ці значення у відповідні вирази, знайдемо оптимальні значення базисних змінних:

х^*₃=0,5; х^*₄=16,5; х^*₅=17,5; х^*₆=0; х^*₇=0.

Підстановкою значень х^*₁ та х^*₂ в лінійну функцію отримуємо значення цільової функції: