Дифференциалы высших порядков

Дифференциалы высших порядков.

Дифференциалом  порядка n, где n > 1, от функции ~z  в  некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала  порядка (n — 1), то есть

~d^nz= d(d^{n-1}z)  .

Дифференциал высшего  порядка функции одной переменной.

Для функции, зависящей от одной переменной ~z = f(x)  второй и третий дифференциалы  выглядят так:

При вычислении дифференциалов высших порядков очень  важно, что ~dx есть произвольное и не зависящее от ~x , которое при дифференцировании по ~x  следует рассматривать как постоянный множитель.

Дифференциал высшего  порядка функции нескольких переменных

Если функция ~z = f(x,y)  имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: ~d^2z= d(dz).

Символически  общий вид дифференциала n-го порядка от функции ~z = f(x_1,...,x_n) выглядит следующим образом:

где ~z = f(x_1,x_2,...x_n), а  ~dx_1,...,dx_n произвольные приращения независимых переменных ~x_1,...,x_n.

Приращения ~dx_1,...,dx_n  рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

Неинвариантность дифференциалов высшего порядка[править | править исходный текст]

При  n\geqslant 2 , ~n-й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение ~d^nf зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная ~x как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, x = \varphi(t).

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример.

При n = 2 и  ~y = f(x) = x^3 :

если  ~x —  независимая переменная, то 

если    и  

1.

при этом    и  

С учётом зависимости ~x = t^2, уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны  дифференциалы порядков 3 и выше.

С помощью  дифференциалов, функция ~F  при условии  существования её (n + 1) первых производных  может быть представлена по формуле  Тейлора:

для функции  с одной переменной:

  ,   ;

для функции  с несколькими переменными:

  ,  

Если первый дифференциал равен нулю, а второй дифференциал функции ~f(x_1,...,x_n)  явлется положительно определённым (отрицательно определенным), то точка ~(x_1,...,x_n)  является точкой строгого минимума (соответственно строгого максимума); если же второй дифференциал функции ~f(x_1,...,x_n)  является неопределённым, то в точке ~(x_1,...,x_n)  нет экстремума.