Дифференциальная геометрия

Page 1

1. (a) Найти локальный базис системы координат.
Выпишем производные: r
u
и r
v
r
u
= {1,4sinv,cosv},
r
v
= {0,4ucosv,−usinv}.
Составим матрицу Якоби и найдем ее ранг:
J
=
(
1 4sinv
cosv
0 4ucosv −usinv
)
T
;
При u = 0,v ∈
R
ранг матрицы
J
меньше 2 ⇒ точки (0,v) - особые.
При u = 0 получим, что первый элемент первой строки есть всегда ненулевое число, и
второй или третий элемент второй строки матрицы
J
так же является ненулевым. Из
этого следует, что строки матрицы
J
линейно независимы ⇒ rg
J
= 2. Следовательно,
данная поверхность - регулярная в точках (u,v),u = 0,v ∈
R
.
(b) Написать уравнение касательной плоскости к поверхности в точке P
1
и(или) P
2
.
• в точке P
1
(1,0,1) :





1 = u
0 = 4usinv
1 = ucosv
⇔
{
u = 1
v = 0
Запишем уравнение касательной плоскости в точке P
1
к данной поверхности в
виде r = r
P
1
+ ur
u
|
P
1
+ vr
v
|
P
1
:
r = {1,0,1} + u{1,0,1} + v{0,0,0} = {1 + u,0,1 + u},u ∈
R
,v ∈
R
• в точке P
2
(1,4,0)





1 = u
4 = 4usinv
0 = ucosv
⇔



u = 1
v =
π
2
+ 2πk,k ∈
R
Запишем уравнение касательной плоскости в точке P
2
к данной поверхности в
виде r = r
P
2
+ ur
u
|
P
2
+ vr
v
|
P
2
:
r = {1,4,0} + u{1,4,0} + v{0,0,−1} =
= {1 + u,4 + 4u,−v},u,v ∈
R
;
2. (a) Построить поверхность и координатную сеть на ней.
• Запишем уравнение поверхности в декартовых координатах:





x = u
y = 4usinv
z = ucosv
⇔



y
2
16
+ z
2
= u
2
u
2
= x
2
⇔ x
2
−
y
2
16
− z
2
= 0.
Получили уравнение эллиптического конуса.
• Координатная сеть:
1) u = u
0
,v ∈ (0,2π)
r = {u
0
,4u
0
sinv,u
0
cosv} - эллипс
2) v = v
0
,u ∈
R
r = {u,4usinv
0
,ucosv
0
} - прямая.

---

Page 2

(b) Исследовать зависимость вида поверхности от области изменения параметров (u,v).
Уравнение поверхности в параметрическом виде:





x = u
y = 4usinv
z = ucosv
При u = 0 получаем особую точку (0,0,0). Т.к. данная поверхность является по-
верхностью вращения, то чтобы не было самопересечения поверхности, параметр v
должен лежать в интервале v ∈ (0;2π).
⇒ Область изменения параметров имеет вид D = {(u,v)|u ∈
R
,v ∈ (0;2π)}, F(D) -
эллиптический конус x
2
−
y
2
16
− z
2
= 0
3. (a) Вычислить первую квадратичную форму поверхности.
Найдем элементы матрицы квадратичной формы:
E = (r
u
,r
u
) = 1 + 16sin
2
v + cos
2
v = 15sin
2
v + 2;
F = (r
u
,r
v
) = 16usinv cosv − usinv cosv = 15usinv cosv;
G = (r
v
,r
v
) = 16u
2
cos
2
v + u
2
sin
2
v = u
2
(15cos
2
v + 1);
Составим матрицу квадратичной формы вида
G
=
(
E F
F G
)
:
G
=
(
15sin
2
v + 2
15usinv cosv
15usinv cosv u
2
(15cos
2
v + 1)
)
;
Далее запишем первую квадратичную форму вида I = Edu
2
+ 2Fdudv + Gdv
2
:
I = (15sin
2
v + 2)du
2
+ 30usinv cosvdudv + u
2
(15cos
2
v + 1)dv
2
.
(b) Вычислить угол между кривыми u = v
2
и u = v в точке их пересечения.
• Найдем точки их пересечения:
v
2
= v;
v = 0,u = 0 ⇒ A
1
(0,0);
v = 1,u = 1 ⇒ A
2
(1,1);
⇒ имеем 2 точки пересечения.

---

Page 3

• Запишем кривые в параметрическом виде:
γ
1
:
{
v
1
= t
u
1
= t
2
и γ
2
:
{
v
2
= t
u
2
= t
Угол между параметрическими кривыми есть угол между векторами их скоро-
стей:
ξ
i
↔ ξ
i
=
(
˙u
i
˙v
i
)
,i = 1,2;
cos ̂
(γ
1
,γ
2
) =
ξ
T
1
G
ξ
2
√
ξ
T
1
G
ξ
1
√
ξ
T
2
G
ξ
2
;
Найдем эти вектора и угол между ними:
ξ
1
=
(
2t
1
)
;ξ
2
=
(
1
1
)
;
Проверим, являются ли точки пересечения особыми точками:
1) A
1
(0,0) :
G
|
A
1
=
(
2 0
0 0
)
;
Матрица
G
вырожденная ⇒ точка A
1
(0,0) особая ⇒ в ней угол между кри-
выми искать не будем.
2) A
2
(1,1) :
G
|
A
2
=
(
2 + 15sin
2
(1) 15sin1cos1
15sin1cos1 15cos
2
(1) + 1
)
;
Матрица
G
невырожденная ⇒ в ней мы будем искать угол между кривыми:
ξ
1
=
(
2
1
)
;ξ
2
=
(
1
1
)
;
cos ̂
(γ
1
,γ
2
) =
(
2 1
)
(
2+15 sin
2
(1) 15 sin 1 cos 1
15 sin 1 cos 1 15 cos
2
(1)+1
)(
1
1
)
√
(
2 1
)
(
2+15 sin
2
(1) 15 sin 1 cos 1
15 sin 1 cos 1 15 cos
2
(1)+1
)(
2
1
)
√
(
1 1
)
(
2+15 sin
2
(1) 15 sin 1 cos 1
15 sin 1 cos 1 15 cos
2
(1)+1
)(
1
1
)
=
=
5 + 45sin1cos1 + 30sin
2
1 + 15cos
2
1
√
9 + 60sin
2
1 + 90sin1cos1 + 15cos
2
1
√
18 + 30sin1cos1
=
=
20 + 45sin1cos1 + 15sin
2
1
√
(24 + 45sin
2
1 + 30sin2)(18 + 15sin2)
;
4. (a) Вычислить вторую квадратичную форму поверхности.
Вычислим единичный вектор нормали:
n =
r
u
× r
v
|r
u
× r
v
|
=
{−4u,4sinv,4ucosv}
√
16u
2
+ u
2
sin
2
v + 16u
2
cos
2
v
=
=
1
√
17u
2
+ 15u
2
cos
2
v
{−4u,4sinv,4ucosv};
Вычислим коэффициенты матрицы второй квадратичной формы
B
=
(
L M
M N
)
, где
L = (r
uu
,n), M = (r
uv
,n), N = (r
vv
,n):
r
uu
= {0,0,0};
r
uv
= {0,4cosv,−sinv};

---

Page 4

r
vv
= {0,−4usinv,−2ucosv};
L = (r
uu
,n) = 0;
M = (r
uv
,n) = 0;
N = (r
vv
,n) =
−4u
√
17 + 15cos
2
v
;
Следовательно, матрица второй квадратичной формы примет вид:
B
=
(0
0
0
−4u
√
17+15 cos
2
v
)
а второй квадратичной формой будет являться выражение вида II = Ldu
2
+2Mdudv+
Ndv
2
:
II =
−4u
√
17 + 15cos
2
v
dv
2
;
(b) Определить типы точек поверхности:
det
B
= LN − M
2
= 0;
det
B
= 0 и L
2
0
+ N
2
0
= 0при u,v ∈
R
,u = 0 ⇒ регулярные точки поверхности -
параболические точки.
5. Вычислить кривизну пространственной кривой γ : r = r(t) = {1,4sint,cost} в точках
P
1
(1,0,1) и(или) P
2
(1,4,0).
(a) Найдем кривизну кривой с помощью формулы k cosΘ =
II
I
, где cosΘ = (n,ν) :
ν =
(
˙
r × r) ×
˙
r
˙
r ·
˙
r × r
;
˙
r = {0,4cost,−sint};
r = {0,−4sint,−cost};
ν =
1
√
3cos
2
t + 1
{0,−sint,−4cost};
ν|
P
1
= {0,0,−2};
n|
P
1
=
1
√
2
{−1,0,1};
cosΘ
P
2
= −
√
2;
II(ξ)
I(ξ)
=
ξ
T
B
ξ
ξ
T
G
ξ
, ξ =
(
1
1
)
⇒
k
P
1
=
1
cosΘ
P
2
II
I
=
= −
1
√
2
·
(
1 1
)
(
0
0
0
−4u
√
17+15 cos
2
v
)(
1
1
)
(
1 1
)
(
2+15 sin
2
v
15u sin v cos v
15u sin v cos 1 (15 cos
2
v+1)u
2
)(
1
1
)
=
= −
1
√
2
1
1024
−
√
2 =
1
1024
.

---

Page 5

(b) Кривизна произвольно параметризованной плоской кривой равна
k =
˙
r × r
˙
r
3
;
˙
r = {0,4cost,−sint};
r = {0,−4sint,−cost};
˙
r × r = {−4,0,0};
˙
r × r = 4;
˙
r = 15cos
2
t + 1;
k =
4
(15cos
2
t + 1)
3
;
Кривизна для точек P
1
и P
2
будет равна:
k
P
1
=
1
1024
;
k
P
2
= 4;
6. Найти главные направления и главные кривизны в точках P
1
и(или) P
2
. Вычислить сред-
нюю и гауссову кривизны поверхности в точках P
1
и(или) P
2
:
(a) Найдем главные кривизны:
det(B − kG) =
∣
∣
∣
∣
L − kE M − kF
M − kF N − kG
∣
∣
∣
∣
= 0
(b) в точке P
1
(1,0,1)
∣
∣
∣
∣
−2k
0
0
−
1
√
2
− 16k
∣
∣
∣
∣
= (−2k)(−
1
√
2
− 16k) = 0 ⇒ k
1
= 0,k
2
= −
1
16
√
2
(c) в точке P
2
(1,4,0)
∣
∣
∣
∣
−17k
0
0
−
4
√
17
− k
∣
∣
∣
∣
= (−17k)(−
4
√
17
− k) = 0 ⇒ k
1
= 0,k
2
=
−4
√
17
(d) Найдем главные направления ξ
1
и ξ
2
в точке P
1
:
ξ
1
:
(0
0
0 −
1
√
2
)(
α
1
β
1
)
= 0, α
1
= 1,β
1
= 0 ⇒ ξ
1
↔ C
1
(
1
0
)
;
ξ
2
:
(−
1
16
√
2
0
0
0
)(
α
2
β
2
)
= 0, α
2
= 0,β
2
= 1 ⇒ ξ
2
↔ C
2
(
0
1
)
;
(e) Найдем главные направления ξ
1
и ξ
2
в точке P
2
:
ξ
1
:
(0
0
0 −
4
√
17
)(
α
1
β
1
)
= 0, α
1
= 1,β
1
= 0 ⇒ ξ
1
↔ C
3
(
1
0
)
;
ξ
2
:
(
4
√
17 0
0
0
)(
α
2
β
2
)
= 0, α
2
= 0,β
2
= 1 ⇒ ξ
2
↔ C
4
(
0
1
)
;

---

Page 6

(f) Найдем среднюю и гауссовы кривизны поверхности в точке P
1
:
K = k
1
· k
2
= 0, H =
k
1
+ k
2
2
= −
1
32
√
2
.
(g) Найдем среднюю и гауссовы кривизны поверхности в точке P
2
K = k
1
· k
2
= 0, H =
k
1
+ k
2
2
= −
2
√
17
.
7. Выписать уравнения линий кривизны и асимптотических линий для рассматриваемой
поверхности.
(a) Линии кривизны u
кр.
(t) и v
кр.
(t) на поверхности удовлетворяют следующему диффе-
ренциальному уравнению:
∣
∣
∣
∣
∣
∣
dv
2
−dudv du
2
E
F
G
L
M
N
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 0
Выпишем это уравнение:
∣
∣
∣
∣
∣
∣
dv
2
−dudv
du
2
2 + 15sin
2
v 15usinv cosv u
2
(15cos
2
v + 1)
0
0
−4u
√
17+15 cos
2
v
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 0;
dv
2
(
−60u
2
sinv cosv
√
17 + 15cos
2
v
) + (
−4u(2 + 15sin
2
v)
√
15cos
2
v + 17
)dvdu + du
2
0 = 0;
(b) Асимптотические линии u
ас.
(t) и v
ас.
(t) на поверхности удовлетворяют следующему
дифференциальному уравнению:
Ldu
2
+ 2Mdudv + Ndv
2
= 0;
Выпишем это уравнение:
(
−4u
√
15cos
2
v + 17
)dv
2
= 0;
8. Найти решения уравнений п7.
(
60u
2
sinv cosv
√
17 + 15cos
2
v
)dv + (
4u(2 + 15sin
2
v)
√
15cos
2
v + 17
)du = 0
(
15sinv cosv
1 + 15sin
2
v
)dv =
1
u
du
∫
(
15sinv cosv
1 + 15sin
2
v
)dv =
∫ 1
u
du
u = (sin
2
v + 1)
15/2
+ C
0
,C
0
= Const