Дифференциальные уравнения первого порядка

2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первого  порядка 

F(x, y, y’)= 0 . Выразим производную:

y' = f (x, y) .

Дифференциальное уравнение  может быть записано через дифференциалы

M(x, y) d x + N(x, y) d y = 0 .

Теорема о существовании  и единственности решения уравнения: Если в

некоторой области D функция   f (x, y) и ее частная производная непрерывны, то для любой точки существует единственное

решение проходящее через эту точку (т.е. удовлетворяющее условию

Определение. Условие равенства при называется начальным условием.

Определение. Общим решением уравнения называется функция зависящая от произвольной постоянной  C  и удовлетворяющая условиям:

1. при любом значении  С функция является решением ;
2. для любой точки существует значение постоянной что

 

Общее решение, когда переменная  y  не выражается через переменную  x, называется общим интегралом

Определение.  Частным называется решение, которое получается из общего при конкретном значении постоянной  Аналогично получается частный интеграл

 

2.1 Типы уравнений первого порядка и способы их решений

Уравнение с разделяющимися переменными может быть представлено в следующих видах Для решения уравнения с разделяющимися переменными необходимо представить производную как отношение дифференциалов и разделить переменные,

т.е. с одной стороны  от знака равенства собрать выражение содержащее только  x  , с другой - только  y:

Решения записаны с помощью интегралов, полученных при интегрировании уравнения. Эти решения содержат произвольную константу интегрирования и являются общими. А особые решения можно получить, решая алгебраические уравнения

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися

переменными. Действительно, после преобразования получим                                                 Интегрируем полученное уравнение:

Рассмотрим два случая:

1. y = 0.  Легко убедиться, что данная функция является решением уравнения.

 

Здесь постоянная интегрирования представлена для удобства в виде логарифма, а модули отброшены, т.к. постоянная   C  может принимать и положительные и отрицательные значения. Функция, полученная в случае 2, является общим решением и включает в себя также решение случая 1, получаемое при C = 0.

 

2. Однородные уравнения первого порядка

 

Определение. Функция называется однородной функцией порядка k , если

Определение. Уравнение называется  однородным, если  f (x ,y )

является однородной  функцией порядка 0. Тогда, принимая   получаем

 

Таким образом, уравнение  первого порядка является однородным, если его 

правая часть представима в виде функции, зависящей только от отношения

переменных  x и y

Однородное уравнение  решается с помощью  замены При этом

 В новых переменных уравнение разрешает разделение переменных:

                                        2.3 Линейные уравнения

Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение

следующего вида:

Отметим, что в уравнение  неизвестная функция   y(x)  и ее производная

входят только в первой степени, и нет их перекрестных произведений.

Линейное уравнение решается с помощью подстановки  Тогда Подставляя замену в уравнение, получим :

                                     

Выберем функцию  v x( ) таким образом, чтобы выделенные фигурной скобкой слагаемые в сумме давали ноль.

1. Но u не может равняться тождественно  нулю, т.к. в этом случае и y, и y’ будут тождественно равны нулю, а этого не может быть при ненулевом  q x( ). Следовательно

Т.к. функцию   v(x)  можем выбирать произвольной, примем константу

интегрирования равной нулю. Оставшиеся части уравнения также представляют

собой уравнение с разделяющимися переменными:

Запишем общее решение:

 

Пример. Решить уравнение 

 

Решение.  Перепишем уравнение в удобном для нас виде: Применив подстановку получим

                             

Решаем два уравнения  с разделяющимися переменными:

 

Запишем общее решение  уравнения