Вступ
Еваріст Галуа - видатний французький
математик, засновник сучасної вищої алгебри.
Перше ж знайомство з енциклопедичними
статтями про Галуа створює враження ,
що мова йде про видатного вченого . Леопольд
Інфельд , автор однієї з небагатьох об'ємних
книг, присвячених долі Галуа , впевнено
вносить його до списку дюжини найбільших
математиків історії. Однак з тихий же
статей можна зробити висновок , що біографія
цієї людини вивчена недостатньо.
Багато в чому це , звичайно
, пов'язано з коротким терміном його життя
- народився в 1811 і гине вже в 1832 році ,
проживши всього 20 років. Нема про що особливо
і писати. Проте насправді до двадцяти
років Галуа мав настільки насичену біографію
, що похвалитися такою зможе не кожен
сорокарічний .
Коротке життя Галуа була сповнене
героїзму , страждань і обманутих надій
. Його майже зухвала впевненість у власному
надзвичайному математичному даруванні
стала причиною того , що викладачі переслідували
його , а вчені ігнорували. Виключений
зі школи за свій неприборканий республіканський
дух , він був потім кинутий у в'язницю
і, нарешті , став жертвою дуелі , підлаштований
його політичними супротивниками.
З біографією Галуа майстерно
переплітається розповідь про Францію
XIX століття - Франції після поразки Наполеона
, під час реставрації Бурбонів ; Франції
Гюго, Дюми, Делакруа ; розповідь про бурхливі
події липневої революції 1830 року , в якій
Еваріст Галуа зіграв настільки трагічну
роль.
Коли Галуа помер , він був відомий
тільки як несамовитий республіканець
, який ненавидів тиранію і боровся за
Францію і свободу. Але безсмертя Галуа
досягнуто тим , що він встиг написати
за тринадцять годин до смерті і що нині
вчені досліджують як « групу Галуа » ,
«поле Галуа » , « теорію Галуа »
Біографія
Еваріст Галуа народився 25 жовтня
1811 в Бур- ла- Рені , невеликому місті на
південь від Парижу. Його батько Ніколя
Габріель Галуа був затятим прихильником
Наполеона. У наслідку, під час Ста днів
, він буде обраний мером міста - і залишиться
ним до самої смерті
До 12 років Еваріст виховувався в сім'ї
- біографи впевнено пишуть , що більше
впливу на нього справила мати Марія Аделаіда
Галуа. Вона дійсно була освіченою
жінкою , дочкою юриста . Відрізнялася
вільнодумством в релігійних питаннях
, добре знала грецьку та латинську мови
. Все це вона повною мірою передавала
синові .
Коли Еварістові виповнилося
12 років, батьки відправили його навчатися
в Королівський коледж в Парижі ( нині
ліцей Луї -ле -Гран ) . Добре підготовлений
, він стає одним з найбільш успішних вихованців
ліцею. За вірші латинською мовою та переклади
з грецької він отримує призи та похвальні
листи. Галуа відразу потрапляє не тільки
в прекрасну наукову, а й в ліберальну
середу - в усякому разі серед учнів.
В період навчання
Галуа там відбувається відомий
скандал. Учні школи протестують
проти можливої передачі школи
назад єзуїтам , це закінчується вигнанням
з ліцею 40 учнів . Невідомо, чи брав участь
у протестах Еваріст (хоча якоюсь мірою
залучені в них були майже всі учні ) , але
зі школи його не виганяють . Можливо ,
це перший і останній випадок у його кар'єрі
, коли неприємності обходять його стороною.
Галуа вчиться добре перші два
роки , потім починається спад , його навіть
залишають на другий рік. Трохи пізніше
він записується на лекції з математики
в клас Іполита Жана Верньє . Він першим
звертає увагу на математичні здібності
Еваріста і охоче постачає його літературою.
Дослідження математики стало
метою життя юного Еваріста Галуа. Відтепер
тільки сюди спрямовані всі його думки.
Він повністю закинув літературу , риторику
та історію. Умовляння викладачів не діяли.
Юнак твердо і безповоротно вступив на
стежку самостійних математичних досліджень
. Найближче його прагнення - вступити
до Політехнічної школи.
І незабаром Галуа робить спробу,
але провалює іспит - причому іспит з математики.
Юнак змушений повернутися
в школу, проте ще до її закінчення , в 1829
році, представляє свою першу статтю Французької
академії наук . Стаття ця присвячена галузі
алгебри , яка надалі буде названа теорією
груп - сам термін « група» в цьому значенні
введений у науку Галуа в одній з робіт
. Стаття була представлена , але не
була розглянута.
Влітку того ж року помирає
батько Еверіста,який вчинив самогубство,
не винісши наклепу , поширюваного про
нього місцевим священиком . Галуа, мабуть
, був дуже близький зі своїм батьком ,
але якби навіть і ні - такий удар підкосить
будь-кого. Якщо в школі йому і змогли прищепити
якісь зачатки релігійного почуття, то
роль священика у смерті батька остаточно
позбавляє молодого математика поваги
до релігії. Фінальним акордом стає приниження,
яке йому і його родині безумовно довелося
пережити на похоронах - батько Еваріста
був католиком , але самовбивць не відспівують
і не ховають на церковній землі
Через пару тижнів Галуа знову складає
іспити в Політехнічну школу. Екзаменатор
запропонував йому вирішити дуже важке
рівняння . За кілька хвилин Еваріст написав
на класній дошці оригінальне рішення.
Не зрозумівши способу вирішення , екзаменатор
засміявся . Зневірившись переконати екзаменатора
в правильності прийомів свого рішення
, Еваріст жбурляє в нього губку для стирання
крейди. Чи було все так насправді не відомо,
але в Політехнічну школу він не потрапив.
Нещастя і невдачі не загасили
в Галуа спрагу знань і творчості. З лютого
- 1830 він відвідує лекції професорів іншої
вищої школи , відомої під назвою « Есоlе
Normale » (« Нормальна школа »). У тому ж році
Еваріст представляє на конкурсі до Академії
наук три нові манускрипти . Здавалося
б, тепер все добре. Рукопис почав читати
сам Фур'є - великий математик. Але і тут
його чекала невдача, незабаром Фур’є
помирає, а рукопис Галуа кудись таємничо
зникає.
У липні 1830 року у Франції починається
революція . Галуа , до того серйозно цікавившись
тільки математикою , несподівано виявляє
великий інтерес до політики. Він активно
підтримує революціонерів - республіканців.
У самих подіях революції участь він не
прийняв - але тільки тому , що за наказом
директора Еколь Нормаль всіх студентів
Школи замкнули в будівлі. Студенти взагалі
дуже активно підтримали революцію і вигнання
Карла X.
Наступні два роки життя Галуа
- все , що залишилися йому до смерті - він
веде надзвичайно активний спосіб життя.
Зараз нам складно це уявити , але очевидно
свого часу він був абсолютно невідомий
, як математик , в той час як його революційна
діяльність була у багатьох на слуху.
У день взяття Бастилії , Галуа одягає
форму розпущеної Національної гвардії.
І через його діяльність суд засуджує
математика до тюремного ув'язнення. Математичні
роботи , написані ним в 1831 році , ніхто
не печатав.
Відомий хімік і
політичний діяч Франсуа- Вінсент
Распай , що сидів в одній в'язниці з Галуа
, згадував що той був дуже пригнічений
, багато пив , скаржився на долю.. Однак
ув'язнення у в'язниці не зломило в Галуа
ні революційного духу , ні бажання займатися
наукою.
У березні 1832 вченого
переводять з в'язниці в лікарню
- чи то через погане самопочуття
, чи то через розгортання в Парижі епідемії
холери. Останній місяць ув'язнення він
проводить в лікарні Фолтріє . Там він
знайомиться з Стефані дю Мотель , дочкою
лікаря . Зав'язується бурхливий роман,
що триває майже до самої смерті математика
і, можливо , послужив однією з її причин.
Про останні дні Еваріста Галуа
відомо дуже небагато. Очевидно , що 29 травня
1832 хтось викликає його на дуель. Однак
ми не знаємо ні хто це зробив, ні чому
це відбулося. Відомо , що незадовго до
смерті вчений перервав відносини з Стефані
дю Мотель . У своєму останньому листі
він пише , що гине « через підлу кокотку
». Складно сказати чи мав він на увазі
Стефані, але Галуа у напруженні через
недавню сварку міг так її назвати.
Можливо причина смерті зовсім
не в жінці. Брат Еваріста , Альфред,
був упевнений , що вбивство підлаштували
політичні противники Галуа. Це не можна
виключати , так як той був помітною фігурою
серед республіканців, а рішення політичних
дискусій за допомогою дуелі у Франції
тих років була справа не рідкісна.
Однак саме велику справу свого
життя він зробити встиг. Всю ніч 30 травня
Еваріст дописує свої останні роботи ,
доповнюючи і пояснюючи їх. Повного пояснення
він все одно не встигає дати . Він сам
зазначає на полях рукопису: «У мене немає
часу». Виправлені роботи він запечатує
і відсилає їх своєму другові Огюсту Шевальє.
У листі він просить опублікувати готові
статті в « Енциклопедичному огляді» і
показати їх Якобу і Гаусу - найбільшим
математикам того часу.
У ніч перед дуеллю Еваріст
написав своїм друзям листа:
««Мене викликали на дуель
два патріота ... Я не міг відмовитися. Вибачте,
що я не дав знати нікому з вас. Противники
взяли з мене слово честі, що я не попереджу
нікого з патріотів.
Ваше завдання дуже просте:
вам треба підтвердити, що я бився проти
волі, тобто після того, як були вичерпані
всі засоби мирно залагодити справу, і
що я не здатний брехати навіть у такій
дрібниці.
Не забувайте мене! Адже доля
не дала мені прожити стільки, щоб моє
ім'я дізналася батьківщина.
Помираю Вашим другом.»
Вранці 30 травня 1832 випадковий
перехожий помітив на галявині важко поранену
в живіт молоду людину. Це був Галуа. Пораненого
відвезли до лікарні , де він помер вранці
наступного дня на двадцять першому році
життя. Поховали його в загальній могилі
на кладовищі Монпарнас .
Галуа створив новий напрямок
алгебри , теорію груп , багато в чому яка
направила розвиток цієї науки до наших
днів.
Доказ однієї теореми
з теорії неперервних дробів
Еваріст особливо захопився
роботою Лагранжа - великого французького
математика - аналітика XVIII століття , в
якій досліджувалася проблема можливості
розв'язання в радикалах алгебраїчних
рівнянь загального вигляду
а0хп + а1хп - 1 +…
+ ап - 1х + ап = 0 ..
Суть проблеми - висловити рішення
такого рівняння формулою , складеної
з коефіцієнтів рівняння , знаків арифметичних
дій і радикалів. Відповідні формули для
розв'язання рівнянь квадратних, третього
і четвертого ступенів відомі. Останні
дві були отримані ще в XVI столітті італійськими
математиками Тарталья і Феррарі , але
всі спроби отримання формули для розв'язання
рівнянь п'ятого ступеня загального вигляду:
а0х5 +
а1х 4 +
а2х3 +
а3х2 +
а4х + а5 = 0
були безуспішними протягом
більш ніж двох століть.
Юний Галуа обрав
інший напрямок для своїх шукань в теорії
алгебраїчних рівнянь n- го порядку:
Відомо , що якщо за методом
Лагранжа розкладати в безперервний дріб
корінь рівняння другого ступеня , то цей
безперервний дріб буде періодичним і
що те ж , буде мати місце для кореня рівняння
будь-якого ступеня , якщо цей корінь є
коренем раціонального множника другого
ступеня запропонованого рівняння.
У цьому випадку рівняння має
щонайменше ще один періодичний корінь
. І в тому , і в іншому випадку безперервний
дріб , може бути чисто періодичним чи
змішаним , але у випадку , коли остання
обставина має місце, існує хоча б одне
перетворення , при якому один з коренів
стає чисто періодичним . Коли деяке рівняння
має два періодичних кореня , відповідне
одному раціональному множнику другого
ступеня , то між цими двома коренями існує
досить дивне співвідношення, яке , здається
, ще не було зазначено; воно може бути
виражене у вигляді наступної теореми.
Теорема:
Якщо один з коренів
деякого рівняння небудь мірою являє
собою чисто періодичну безперервний
дріб , то рівняння неодмінно має інший
періодичний корінь , що виходить діленням
негативною одиниці на безперервний дріб
, написану в зворотному порядку
Доказ:
Для визначеності візьмемо
період в чотири члени , так як хід обчислення
показує , що той же результат вийде і при
допущенні великого числа членів в періоді.
Нехай один з коренів
деякого рівняння якого – небудь ступеня
виражається так :
Рівняння другого ступеню, якому належить
цей корінь і який містить його зв'язаний
корінь, буде
Звідки послідовно отримуємо:
Отже, це знову рівняння другого ступеня,
яке дає обидва кореня, про які йде мова;
але, необмежено підставляючи в праву
частину значення х, ми отримуємо:
Це буде друге значення х, визначене
цим рівнянням; як бачимо, воно дорівнює
-1, поділене на перше значення, написане
в зворотному порядку.
У попередньому ми припускали,
що розглянутий корінь більше одиниці;
але якщо:
То підсумовуємо, що для одного з значень
1 / x має місце
І за попереднім інше значення
1 / x буде
Звідки виводимо для іншого значення х
або
що знову точно відповідає нашій теоремі
.
Нехай А – якийсь чисто періодичний
безперервний дріб , а В - безперервний
дріб , який виходить при перестановці
періоду в зворотному порядку.