Ежелгі Қытай математикалық түсініктер тарихы

Қазақстан Республикасы Білім және Ғылым министрлігі

Ш. ЕСЕНОВ АТЫНДАҒЫ КАСПИЙ МЕМЛЕКЕТТІК

ТЕХНОЛОГИЯЛАР ЖӘНЕ ИНЖИНИРИНГ  УНИВЕРСИТЕТІ

«Педагогикалық технологиялар» институты

«Жоғары математика» кафедрасы

 

 

 

           Пәні: Мектептегі математикалық түсініктердің тарихы 
         Тақырыбы: Ежелгі Қытай математикалық түсініктер тарихы

 

                                                                 

 

                                                                Орындаған: мат-10-1 тобының  
                                                                 студенті  Абилова Б. 
                                                                Тексерген: Нұр Г.

 

 

 

                                             

                                                                            

 

 

                                           Ақтау 2012

                                  Жоспар:

I Кіріспе                                                                                                                                                     II Негізгі бөлім 
1 «Тоғыз кітаптағы математика». 
2. Ежегі Қытай арифметикасы 
3. Алгебра 
4. Геометрия 
III Қорытынды

 

 

 

                     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кіріспе. Грек пен Рим мəдениетінің дүние жүзілік ақырғы құлдырауынан кейін ғылыми прогресстің орталығы көп уақытқа дейін шығысқа ауысты. Үнділердің, Орта Азия мен Таяу Шығыс математиктерінің жұмыстары əрі қарай математиканың Европада дамуына көп əсер етті. Алайда, хронологиялық көптеген мəселелерде үздіктік Қытай математиктеріне тəн болды. Қытай математиктері туралы білім үзінділері оның ежелгі уақыт тарихында біздің заманымызға дейінгі 2 мың жылдықтың орталарында шығады, олар көбіне күнпарақ жайлы мəліметке тіреледі. Қытай математикасы да ежелгі Мысыр және Вавилон т.б. математикасы сияқты басқа ғылым білімдерден, дағды-тәжірибелерден өз алдына бөлінбеген, салаланбаған қалпында тұтас кездеседі. Қытайлықтардың ғылыми мағлұматтарының бастауы – олардың күнпарақ жасауы жөніндегі іс әрекеттері. Дәлелдеуі жоқ, баяндауы дүдәмал, яғни есепті шешу үшін қалай жасау керектігі нұсқауланғанмен, дұрыс-бұрыстығы сарапқа салынбаған күйде беріледі. Дегенмен шығарылған есептердің мазмұнына, шешу жолына қарай отырып, ондағы қазіргі салаларға жататын мағлұматтарды шартты түрде ажыратуға болады. Өте ертедегі қытайлықтардың математикалық деңгей-дәрежесі қандай болғанын сипаттайтын мағлұматтар аса көп емес. Қазіргі қытай математик-тарихшысы Ли Ян біздің заманымызға дейінгі XXV ғасырда-ақ Қытайда математика бастамалары болғанын дәлелдейді.

Ежелгі қытайлықтардан бізге  мирас қалған тамаша математикалық  еңбек «Тоғыз кітаптағы математика» («Цзю чжан суань шу») деп аталады.

 Тоғыз кітаптағы математика (кіріспе)

 

 «Тоғыз кітаптағы математика»  атты бізге дейін жеткен математикалық  шығармашылықта біздің заманымызға  дейінгі 1–ші мың жылдықта  өмір сүрген математиктердің  көпғасырлық жұмыстарының қорытындысы  келтірілген, ол Қытай математикасы мен оның айналасындағы елдердің дамуына зор əсер етті. Ертеректегі мəліметтер бойынша Чжан Чан құрастырған «Тоғыз кітаптағы математика» қытай математиктерінің есептеу техникасының өте жоғары дəрежеде жəне жалпы алгебралық тəсілдерге қызығушылық бар екенін көрсетті. Ежелгі Қытайда білімді адамдар жоғары бағаланды. Мемлекеттік

қызметкер болу үшін «Тоғыз кітаптағы математика» трактатын  оқып, математикадан емтихан тапсыру  керек еді. «Жазықтықты өлшеу» деп  аталатын «Математиканың» бірінші  кітабы кейбір қарапайым тік бұрышты  фигуралардың, дөңгелек пен оның бөліктерінің аудандарын есептеу, сонымен қатар  бөлшектерге қолданылатын арифметикалық  амалдар жөніндегі қосымша мəліметтерден  тұрады. Екінші кітап «Əртүрлі дəнді  дақылдардың ара қатынасы» деп  аталады. Ол дəнді дақылдарды салыстыру  мөлшерінің кең көлемді кестесімен ашылады. Бір белгісізі бар пропорциялық есептер біркелкі бір немесе бірнеше  заттардың бағасын сол заттардың  белгілі бір бағасы бойынша есептеуге  арналған есептермен жалғасады. Мұндай есептер кейіннен Еропада «үш  еселік есеп ережелері атанды». «Сатылап бөлу» үшінші кітабында шаманы берілген санға пропорционал бөліктерге бөлуге арналған бірнеше есептер берілген. Төртінші кітапта тік төртбұрыштың бір қабырғасын ауданы мен екінші қабырғасы арқылы, квадраттың ауданы бойынша оның қабырғасын жəне көлемі бойынша кубтың қырын немесе шар  мен шеңбердің диаметрін табу туралы айтылады.

«Жұмыстың бағасы» атты бесінші  кітапта үй қабырғасының. каналдардың, бөгеттің, жер қазбалардың, кейде  күрделі формадағы нəрселердің  көлемін өлшеу құрылыс жұмыстарына  керекті жұмысшылардың санын  есептеу тəсілдері бар. «Пропорционалды  үлестіру» алтыншы кітапта –  əртүрлі мазмұндағы сызықтық есептер, жолды анықтауға арналған есептер, бассейн жайлы есептер жиналған. Арифметикалық жəне геометриялық прогрессия есептері қызықты. Жетінші кітап  «Артықшылық пен жетпестік». Екі  белгісізі бар бірінші дəрежелі екі теңдеу жүйелерін шешу тəсілдері  берілген. Сол тəсілдердің біреуі екі жалған амал ережесі, ол бір белгісізі  бар тендеулердің біріне қолданылады. Жазылған ережелерде берілген есептерді  шешу үшін əбден өнделген есептеу  алгоритмдерін жасаута тырысу секілді  Ежелгі Қытай математиктерінің маңызды  ерекшеліктері көрсетілді. Екі белгісізі  бар сызықтық теңдеулер жүйесін  шешудің жүйелі жолдары алғаш  рет қытай шығармаларында кездескені белгілі. Сегізінші кітап «Фан–Чэн»  – көп белгісізі бар белгілі  бір сызықтық жүйе шешімінің жалпы  алгоритмін құрайды (фан–чэн қытай  тілінен аударғанда – алгоритм). «Фан–Чэн» əдісі сызықтық жүйе есептерін  шешудегі қытай ғалымдарының жетістіктерінің  жоғары сатысы болып табылады (бұл п белгісізі бар п–сызықты теңдеулер жүйесін шешу алгоритмі). Символиканы қолдана отырып, фан–чэн əдісінің канондық жүйеге қолданылатынын айтуға болады. Басқа елдердің ғалымдары сызықтың есептерді бұрыннан да шешетін болған, бірақ кез келген белгісізі бар сызықтық теңдеудің канондық жүйесін шешудің біркелкі алгоритмі қытай ғалымдарының жаңалығы болып табылады («Алгебра», «Сызықтық теңдеулер жүйесі» тарауларын қара). Ғылым тарихында тұңғыш рет оң жəне теріс сандарға бөліну кездеседі. Ежелгі қытай математиктері теріс сандармен еркін айналысты. Теріс сандарды енгізу, оларды қосу жəне азайту ережелері қытай ғалымдарының жасаған ең маңызды жаңалықтары болып табылады. Кейінірек теріс сандар үнді математикасында да таратылды. Бірінші рет біз олармен Брахмагупта шығармасында, яғни XII ғасырдың басында кездесеміз. «Гоу–гу» атты тоғызыншы кітапта тікбұрышты үшбұрыштарды қолданатын бірқатар есептер жиналды. Олардың ішінде қол жетпес аралықтағы затқа дейінгі қашықтықты, құдықтың тереңдігін анықтайтын есептер бар. Кітап «Гоу–гу» деп аталады, өйткені «Гоу» – тікбұрышты үшбұрыштың əрі қысқа, əрі көлденең катеті, ал «Гу» – ұзын тік катеті. Гоу–гу Пифагор теоремасымен өрнектелген бір–біріне бағыныштылықты білдіреді. Шеңбердің ұзындығының диаметрге қатынасы 3,141526 < p < 3,1414927 аралығында екенін көрсеткен Цзу Чун–Чжи қызметінің қорытындысы (V ғасырдың екінші жартысы) геометриядағы есептеу тəсілдерінің жоғары дамығандығының мысалы бола алады.

Арифметика. «Тоғыз кітаптағы математикада» көне қытайлықтарда негізінен екі түрлі санау жүйесі болған: иероглифтік таңбалар және таяқша цифрлар. Иероглифтік жүйе сандарға амалдар қолдану үшін емес, көбінесе сандарды жазу үшін қолданылған. Есептеулер таяқша цифрлар арқылы жүргізілген.

Бұл санау жүйесі қазіргі  біз қолданып жүрген позициялық жүйеге жақын келеді. Мұнда нөл таңбасы  бастапқы кезде атымен болмаған, оны  қытайлықтар б.з. VIII ғасырында сырттан алған; бірлік цифрлар – жүздік, он мыңдық т.б. сандардың орнына, ал ондық цифрлар мыңдық, жүз мыңдық т.б. сандардың орнына қолданылатын болған.

Қытайлықтар арифметикалық  есептеулерді есептеуіш тақтаның (абак немесе есепшот тәріздес) бетінде  жүргізген. Цифр таяқшалар осы тақтада  есептеулерге байланысты шыққан және онымен тығыз байланыста дамыған. Қытайдың осындай есептеу жүйесінің кемелдігі  – олардың математикасында есептеу  жағынан басым болуына әсерін тигізсе керек.

Қытай математикасында жай  бөлшектер және оларға амалдар қолдану  өте ертеден белгілі болған деуге  негіз бар. Бір қызығы ұзындық  өлшемдер жүйесіне байланысты қытайлықтар  ондық бөлшектерді ашуға жақындаған. Оларда біздің заманымыздың бас кезінде-ақ ұзындық өлшемдері тағайындалады: 1 чп=10 цунь; 1 цунь=10 фэнь; 1 фэнь=10 ли; 1 ли=10фа;       1 фа=10 хао т.с.с.

Мысалы, 3,14159 санды қытайлықтар былай айтады: 3 – жан, 1 чи, 4 цунь, 1 фэнь, 5 ли, 9 хао.

Кейінірек олар разряд атауларын  алып тастаған. Сөйтіп, ондық бөлшектер  қытай математикасында әлі де болса метрологиямен (өлшемдер жүйесімен) тығыз байланысты, өз алдына математикалық  абстрактылы сан ретінде қабылданбайды. Ондық бөлшектерді еш нәрсемен байланыссыз  дербес ашып, пайдаланушы Орта Азия математигі Жәмшид әл-Каши (XV ғ). Оның бұл жөнінде Қытай дәстүрімен таныстығы болуы мүмкін. Бұл қатыстың жай-жапсары әлі де зерттеле түсуді қажет етеді.

 

Алгебра. Қытай математиктері бір белгісізі бар теңдеулерді және оларды шешудің бірнеше әдістерін білген. Солардың бірі екі рет жалған жору ережесі деп аталады. Бұл әдістің мәнісі мынадай: ax=b теңдеуі берілсін. Белгісіз х-қа қалауымызша екі мән береміз:   Сонда және теңдіктері шығады. Мұнда және - жіберілген қателер: Бұлардан   пропорциясын құрып, одан белгісіздің мәнін есептеп табады.

Қытай алгебрашыларының тағы бір елеулі табыстарының қатарына олардың  фан-чэнь деп аталатын әдісті табуын қосуға болады. Олар бұл әдіс арқылы п сызықтың (п=2, 3, 4, 5) теңдеулер жүйесін шешкен. Фан-чэнь әдісі қазіргі жоғары алгебрада қолданылып жүрген анықтауыштар әдісінің жобасын қазіргі символикада былай көрсетуге болар еді.

Сызықтық теңдеулер жүйесі берілсін:

     

     

     

Бұл жүйенің мына түрдегі  кеңейтілген матрицасын құрады.

 

Енді бұл матрицаны  бас диагональдан жоғары және сол  жақта орналасқан коэффициент сандар нөлге тең болатындай етіп түрлендіреді:

 

  

Бұл матрица теңдеулердің мынадай сатылы жүйесіне сәйкес келеді:

                 

     

     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

1. 1

 

Осыдан біртіндеп теңдеулер  жүйесінің түбірлері анықталады.

Қытай математиктерінің теңдеулер  жүйесін шешудегі бұл әдісін дамыта келіп, жапон математигі Шенсуке  Кова 1683 ж. Өз бетімен анықтауыштар жайлы ілім құрады. Европада анықтауыштар теориясының негізін салғандар  Кардано ( 1545) , Лейбниц (1693) және Крамер ( 1750) болды.

XIII  ғасырдағы қытай  математикасындағы үлкен жаңалық  үшінші және одан жоғары дәрежелі  сандық теңдеулерді жуықтап шешу  әдісінің ашылуы болды.

Сандық куб және одан жоғары дәрежелі теңдеуді шешу ашық түрде  тұңғыш рет қытай математиктерінде кездеседі. Мысалы VII ғасырдың бірінші  жартысында математика Ван Сяо-Тун  түріндегі теңдеуді жуықтап шешу алгоритмін ұсынады. Кейіннен бұл әдісті басқа математиктер жетілдіреді. Олар мұндай теңдеуді шешу әдісіне сандардан жуықтап квадрат, куб т.б. дәрежелі түбір табу алгоритмін жасау жолымен келсе керек. Мысалы математик Цинь-Цзю-Шао үшін    сияқты сандардың түбірін табу үшін теңдеуін шешуді қарастырған. Осы әдіспен теңдеуінің түбірін тапқан (x=840).

Бұл әдісті қытайлықтар «тянь  Юань» («аспан элементі») деп атаған. Ол қазіргі жоғары алгебрадағы Горнер – Руффини әдісіне пара-пар. XIX ғасырдағы Европа математиктері  Горнер және Руффини қытайлықтарға  тәуелсіз ашқан.

Арифметикалық есептеулер жүргізу, теңдеулер шешу алгоритмдерін жасау  барысында қытай математиктері  математика тарихында тұңғыш рет  теріс сандар ұғымын енгізеді. Олар теңдеудің оң және теріс коэффициенрттерін  және сандардың оң, терісін ажырату  үшін әр түрлі таяқшалар мен таңбалар пайдаланған. Қытай математиктері  теріс сандарды қосу, азайтудың қарапайым  ережелерін тағайындаған. Бұл ережелерді қазіргі таңбалау жүйесінде былай  жазуға болады:

 

 

 

 

 

       

Математикаға теріс таңбаны  енгізу және оларға амалдар қолдану  ережесін тағайындау жалпы сандар жөніндегі  ілімнің қалыптасуына үлесін қосты. Қазір теріс сандар бүтін сандардың (оң сандар мен пара-пар және оларды симметриялы түрде толықтыратын) бір бөлігі болып отыр.

Қытайлықтар анықталмаған теңдеулерге  келтіретін көптеген есептерді қарастырған. Солардың бірі – «Құстар жайлы  есептер». Біздің заманымыздың III ғасырда  жазылған бір математикалық қолжазбадан (авторы Сун Цзы) осы мазмұнды бір  есеп келтірейік: «Егер әтеш 5 теңге, мекиен 4 теңге, ал 4 балапан 1 теңге тұрса  және оны үш түрден барлығы 100 құс  сатып алу қажет болса, онда 100 теңгеге қанша әтеш, қанша мекиен және қанша балапан сатып алуға  болады?». Бұл есеп

 

анықталмаған теңдеулер  жүйесіне келеді.

Жауабы: 15 әтеш, 1 тауық, 84 балапан. Осы қолжазбадан тағы бір есеп: бір санды 3-ке бөлсек, қалдығы 2, ал 5-ке бөлсек, қалдығы 3, ал 7-ге бөлсек қалдығы 2 болады. Бұл қандай сан?

Шешу жолы: «Санды 3-ке бөлгенде қалдығы 2, сондықтан ізделінді санның орнына 140 алу керек. Санды 5-ке бөлгенде қалдығы 3-ке тең, сондықтан ізделінді сан орнына 63-ті алу керек. Санды 7-ге бөлгенде қалдық екі болады. Сондықтан ізделінді сан орнына 30-ды алу керке. Бұл сандардың барлығын қоссақ, 233 шығады. Енді осы санна 210-ды шегеріп, есептің жауабын табамыз. Жауабы: 23 болады».

Бұл қазіргі сандар теориясына жататын есеп. Атап айтқанда, модульдары қос-қостан өзара жай болып келген үш салыстырудың сызықтық жүйесіне келеді.

x=

мұнда

Бұл жүйені түрлендіріп x=233-105tанықталмаған теңдеуіне келтіруге болады; t=2 болғанда, x-тің ең кіші мәні 23 болады. Қытайлықтар сан қатарының қосындысын табу есептерімен де көп айналысқан. Арифметикалық және геометриялық прогрессиялардың қосындыларынан басқа да олар геометриялық әдіспен бірсыпыра қатарлар қосындысын таба білген.

Геометрия. Қытайлықтардың геометрия жөніндегі ұғымдары өте ертеден басталады. Археологиялық қазбалар біздің заманымызға дейінгі XIII- XII ғасырларда-ақ қытай ою-өрнектерінде 5 – 7 – 8 – 9 бұрышты дұрыс көпбұрыштар кездескенін дәлелдейді. Осыдан сәл кейінірек астрономиялық шығармаларда қабырғалары 3, 4, 5 өлшем болып келген тік бұрышты үшбұрыш үшін Пифагор теоремасы белгілі болған.

 

 

                           Пифагор теормасының қытайлық нұсқасы

                      3*4*5

 

Қытай математиктерінің тағы бір ерекшелігі олар көбінесе құрылыс  практикасында көп ұшырасатын әр түрлі фигуралардың көлемін табумен  айналысады.

Шеңбер ұзындығының диаметрге  қатынасын көрсететін санын табу мәселесі қытай математиктерінің назарын аса аударады. Бұл жөнінде олар үлкен нәтижелерге ие болады. Мәселен, Лю Хуэй (б.з. III ғ.) дөңгелекке іштей және сырттай 3072 – бұрышты көпбұрыштар сызу арқылы   мәнін табады. Бесінші ғасырда өмір сүрген математик Цзу Чун-чжи санының 7 таңбасына дейінгі дұрыс мәнін табуға мүмкіндік беретін 3,1415926˂˂3,1415927 теңсіздігін тағайындайды.