Екінші ретті дифференциялдық теңдеулер

Тұрақты коэффицентті екінші ретті сызықтық           дифференциалдық теңдеулер

     Тұрақты коэффицентті екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер деп мына түрде берілген теңдеулерді айтамыз

                             (2.5.1)

Мұнда p, q тұрақты сандар.

Егер  =0 болса, онда бұл теңдеу біртекті теңдеу деп аталады.

                             

                            (2.5.2)

                              

                               (2.5.3)

теңдеуінің сипаттамалық теңдеуі деп аталады.

Теңдеуінің жалпы шешімі сиаттамалық теңдеуінің түбірлеріне  байланысты анықталады:

1. Егер   k₁≠k₂  болса, онда

                    

                            (2.5.4)

 

2. Егер k₁= k₂    болса, онда

                                  

                     (2.5.5)

Егер k₁= +i , k₂= -i , болса онда

                         

                     (2.5.6)

  1.Теңдеудің жалпы шешімін тап

Шешуі:сипаттамалық теңдеуін құрамыз

,  k₁= -1,     k₂=4

Яғни k₁=k₂  Олай болса,жалпы шешімді (2.5.4) формуласын пайдаланып жазамыз.

2  теңдеуінің ,                 

Бастапқы шарттарды  қанағаттандыратын шешімін тап.

  Шешуі:характеристикалық теңдеу құрып,оны шешсек,

,             

Енді формуласын қолданып, жалпы шешім жазамыз

Бастапқы шарттарды  падаланып, С₁,  С₂  тұрақты сандарды табамыз

Осыдан С₁=         C₂=0. Содан іздеп отырған шешім.

y=

xe^2x

3. Теңдеудің жалпы шешімін тап:  

Шешуі: , ,

    Жалпы шешімді (2.5.6) формуласын қолданып жазамыз

Егер   теңдеуінде ≠0 болса, онда теңдеу біртекті емес теңдеу деп аталады. Біртекті емес теңдеудің   жалпы шешімі екі шешімнің қосындысынан тұрады:

                        

                                              (2.5.7)

         Мұнда y біртекті  теңдеудің жалпы  шешімі. Ол формулаларымен анықталады. Ал y шешімі ол біртекті емес  теңдеудің кез келген бір дербес  шешімі.

Жалпы жағдайда біртекті емес теңдеудің дербес шешімі функциясының түріне байланысты әр түрлі әдістерді қолданып табылады. Төменде екі жағдай қарастырылады.

1. ,  - тұрақты сан.

Бұл жағдайда іздеп  отырған дербес шешімнің түрі  -ның мәніне байланысты болады:

а) егер ≠k₁,  ≠k₂ болса, онда

        

                                  (2.5.8)

түрінде ізделеді. Мұнда  Q_n(x) n-дәрежелі n белгісіз коэффиценттері бар көпмүше.

ә) Егер =k₁ немпесе =k₂ болса, онда

                   

       (2.5.9)

 б) егер =k₁=k₂ болса, онда

                                        (2.5.10)

Мұндағы Q_n(x) көпмүшелігіндегі белгісіз коэффиценттер әдісін қолданып табылады.

Мұндағы екі  жағдай болуы мүмкін.

а) a+bi сипаттамалық теңдеудің шешімі болмайды, яғни

а ib≠ , онда шешім

                                  (2.5.11)

ә) а ib , яғни а ib сиаттамалық теңдеудің шешімі болады, онда

                         (2.5.12)

 

 

Қорытынды

Мен осы тақырыпты  қорыта отырып  y^//= f (x,y,y^/) теңдеуі, мұндағы х- тәуелсіз айнымалы; у- ізделінді функция; у^/ және у^//- оның туындылары, екінші ретті дифференциалдық теңдеу деп аталады. y= (x,C₁,C₂) – екінші ретті дифференциалдық теңдеуінің жалпы шешімі, мұндағы С₁ және С₂ – кез келген тұрақты. Жалпы шешімде екі кез келген тұрақты болғандықтан, дербес шешімі екі шартты қанағаттандыруы керек: х=x₀ болғанда у=y₀, y^/=y^/₀

  Тұрақты коэффицентті екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер деп мына түрде берілген теңдеулерді айтамыз

y^//+p*y^/+q*y=                                                      

Мұнда p, q тұрақты сандар.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пайдаланылған әдебиет

 

 

1. О.М Жолымбаев, Г.Е Берікханова, Э.Т. Бахтинова.

«Жоғары математика»  Алматы 2005ж

 

2. Ә.Н Шыныбеков 

     «Алгебра  және анализ бастамалары» Алматы                                                                                                       «Атамұра» 2006ж

 

3. Қазешев А.Қ., Нұрпейісова С.А

«Экономисттерге арналған математика» Алматы 2008ж