Загальна задача інтерполювання алгебраїчними поліномами

 

Вступ

В практичній діяльності людини часто виникають такі задачі, коли маючи обмежену кількість експериментальних  даних, треба спрогнозувати, які  наслідки слід очікувати при інших  умовах експерименту над тим же об'єктом. Задача такого типу є однією із тих, які розв’язує сучасна обчислювальна  математика, і являє собою вирішення  проблеми наближення функції однієї та багатьох дійсних змінних іншими функціями, які є  більш простими за будовою, і які легко обчислюються на електронно-обчислювальних машинах. Інша назва цієї задачі – апроксимування функції. Ця задача може постати, наприклад, у випадку, коли функція задана своїми значеннями у вигляді таблиці результатів експерименту, або коли функція має складну аналітичну будову і знаходження її значення у деяких точках викликає обчислювальні труднощі. Щоб розв’язати таку задачу у математиці широко використовують рівняння різного вигляду, які з тою чи іншою похибкою моделюють поведінку об'єкта. Підбір таких рівнянь називають апроксимацією експериментальних даних. Зокрема, апроксимація усередині області одержання експериментальних даних називається інтерполяцією, а за межами цієї області – екстраполяцією. У більшості випадків підбір підходящих рівнянь ускладнюється тим, що експериментальні дані отримані приблизно і вміщують похибку експерименту та обчислювань.

Інтерес до таких задач  зріс за останні роки в звязку з тим, що такі апроксимації знайшли різноманітне застосування в обчислювальних задачах теоретичної фізики та механіки. Потрібно відмітити також, що останнім часом ми стаємо свідками позитивної тенденції, згідно якої сучасні математичні дослідження все більше і більше ініціюються найбільш передовими фізичними теоріями та прикладними обчислювальними задачами.

В даній курсовій роботі описаний загальний випадок задачі інтерполювання алгебраїчними поліномами та різні методи її розв’язування.

1. Постановка загальної задачі інтерполяції.

Проста задача інтерполяції полягає у тому, що потрібно знайти аналітичний вираз деякої функції коли відомі її значення у точках                                                                                                   . Для цього функцію замінюють деякою іншою функцією такою що значення обох функцій збігаються у точках тобто . Цей випадок називається інтерполюванням або інтерполяцією, а точки називають вузлами інтерполювання.

Розглянемо тепер більш загальну задачу інтерполювання, вона відрізняється  від простого випадка тим, що відомі не тільки значення функції в точках , а й значення її похідних до деякого конкретного порядку в кожній з точок . Отже, нехай нам задана система інтерполяційних функцій , де , нам потрібно знайти таку їх лінійну комбінацію

(1)

яка задовільняє таку систему

₍₂₎

 

де  - значення похідних -го порядку функції в точках .

 

 

 

 

2. Інтерполяційний многочлен Ерміта.

Як бачимо для того щоб система (2) мала один розв’язок потрібно щоб кількість рівнянь системи була рівною:

                             (3)

а визначник:

     

 

₍₄₎

 

 

 

_{Розглянемо  випадок, коли функція} 

є алгебраїчним многочленом, тобто .

Тоді наша задача зводиться до такої, що потрібно знайти деякий алгебраїчний многочлен, степінь якого не первищує і задовільняє всі вище написані умови. Припустимо що такий многочлен існує і позначимо його . Поряд із будемо розглядати інтерполяційний многочлен Лагранжа , який приймає значення відповідно у вузлах інтерполяції .

 Тепер розглянемо різницю , очевидно, що вона буде дорівнювати нулю у точках . Дану різницю можна записати у такому вигляді:

          ₍₅₎

_де

(6)

- деякий многочлен.

З формули (5) випливає

(7)

Многочлен приймає значення у вузлах інтерполяції, тобто частина потрібних умов уже виконується тепер підберемо многочлен так щоб виконувалась інша частина умов, для цього продиференціюєм обидві частини рівності (7) за змінною , отримаєм:

(8)

Якщо тепер зробити заміну , то будемо мати:

,    (9)

 як бачимо, маючи значення функції в  точках легко отримати в них значення функції _.

Продиференціюєм рівність (8) будем мати:

(10)

 

Зробим заміну , будемо мати:

(11)

 

отже, маючи значення функції  в точках легко отримати в них значення функції . Якщо будемо надалі продовжувати цей процес завжди зможем знайти , маючи значення , де . Таким чином ми звели нашу задачу по відшуканню многочлена до задачі по відшуканню многочлена ,  який задовільняє такі умови:

 

₍₁₂₎

 

 

 де деякі числа. Як бачимо, за рахунок даного прийому отримали нові умови на , тепер застосуєм такий же прийом для і в результаті зведемо задачу до відшукання деякого многочлена і отримаєм відповідні умови для нього, будемо продовжувати даний процес доти, доки наша задача не зведеться до того, що буде потрібно побудувати многочлен Лагранжа по деяких точках . Знайдемо тепер його степінь , він буде рівним сумі вузлів, у яких задані  ,…, , мінус одиниця,  тобто:

 

Оскільки всі многочлени , визначались єдиним чином, то і сам многочлен буде єдиним.

Многочлени даного вигляду  називаються інтерполяційними многочленами Ерміта. Приведемо пару прикладів на відшукання інтерполяційних многочленів Ерміта.

П р и к л а д  1

Знайти значення функції  , за даними, які задані у таблиці:

x	0	1	2
	1	2	33
	0	5	80

 

В нашому випадку .

Спочатку знайдемо інтерполяційний  многочлен Лагранжа по перших двох рядках таблиці, він буде виглядати  так:

,

спростивши, будемо мати:

Тепер запишем:

Підставляючи сюди х=0,1,2 отримаєм:

Звідси легко визначити  за допомогою побудови інтерполяційного многочлена Лагранжа, що

Маючи можна визначити

Звідси 

Як бачимо отримана функція  задовільняє усі необхідні умови нашої задачі, а отже, вона є розвязком.

Відповідь: .

 

П р и к л а д  2

Знайти значення функції  , за даними, які задані у таблиці:

x	0	1	3	4
y	0	4	18	28
	3	5		11
			2

 

 

В нашому випадку  .

Спочатку знайдемо інтерполяційний  многочлен Лагранжа по перших двох рядках таблиці, він буде виглядати так:

,

спростивши, отримаємо

Тепер запишем

 

Підставляючи сюди будемо мати

_{Таким чином ми отримали нову інтерполяційну задачу зменшивши порядок похідних на 1, а також нові значення m та n, а саме: m=4, n=4}

Підставляючи сюди отримаєм

Звідси легко визначити, що

Маючи можна визначити :

Звідси

Як бачимо функція задовільняє усі необхідні умови нашої задачі, а отже, вона є розвязком.

Відповідь: .

 

Побудуємо многочлени , степінь яких не перевищує , такі, які задовольняють наступні умови:

(13)

 

 

Многочлени в точках приймають значення нуль, відповідно кратності , а в точці приймають значення нуль кратності , тому

 

(14)

 

 

де  - деякий многочлен степеня , який не пертворюється в нуль при . Перепишем його у наступному вигляді

(15)

 

Для визначення коефіцієнтів , введемо деякий многочлен :

         (16)

Звідси випливає:

    

 (17)

 

 

Підставляючи сюди будемо мати:

                       

  (18)

 

Перше відношення неперервне в точці а отже,

Границю другого відношення можем знайти за правилом Лопіталя – Бернуллі:

 

Отже,

                       

  (19)

 

Використовуючи цей самий  прийом знайдемо коефіцієнти 

     

(20)

 

Продиференціюєм рівність (20) за правилом Лейбніца, отримаєм:

Похідні

неперервіні в точці  , а отже,

Для визначення другої частини границі скористаємось тим самим прийомом що і для визначення . Многочлен має такий самий степінь, не вищий за m, він ділиться на , тому, його можна записати у вигляді

Поділимо дану рівність на

Скориставшись такою заміною знайдемо значення другої частини границі:

Оскільки  коефіцієнти розкладу , то їх записують у такому вигляді:

В нашому випадку

Таким чином  дорівнюють нулю всюди, крім тих точок, де , і в цій ситуації:

Отже,

(21)

   

(22)

 

Використовуючи побудовані нами функції  не трудно написати вираз для

або

 

(23)

 

Спробуєм знайти або оцінити  залишковий член інтерполяційної формули Ерміта, для цього будем вимагати від нашої функції існування -ої похідної на відрізку на якому задані вузли інтерполяції і значення , в якому будем проводити інтерполяцію, та існування і неперервності всіх похідних до -го порядку.

Для цього розглянемо деяку  допоміжну функцію наступного вигляду:

(24)

В формулі 24, – деяка константа, функція разом зі своїми похідними в точці перетворюється в нуль а₀ раз, тобто іншими словами  має в значення нуль кратності , в функція має значення нуль кратності і так далі, і накінець  в – нуль кратності a_n. Спробуєм підібрати значення K так щоб в точці , в якій ми проводим інтерполювання функція приймала значення нуль

звідси:

, на основі теореми Ролля  похідна функції  приймає значення нуль в точках на інтервалах між , і крім того буде мати нулі кратності відповідно в , тобто загалом нулів на проміжку . На підставі таких самих міркувань отримаєм, що друга похідна функції буде мати як мінімум нулів на відрізку , третя похідна буде мати як мінімум нулів на цьому проміжку, і накінець -а похідна функції буде мати хоча б один нуль на відрізку . Отже, на підставі всього вище сказаного можем зробити висновок, що знайдеться така точка , що