Задачи по "Математике"

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

Задание 1 3

Задание 2 4

Задание 3 6

Задание 4 8

Задание 5 10

Задание 6 12

Задание 7 13

Задание 8 17

Задание 9 19

Список использованных источников 21

 

Задание1

Необходимо  распилить 20 бревен длиной по 5м каждое на бруски по 2м и 3м; при этом должно получиться равное количество брусков  каждого размера.

Составить такой план распила, при котором  будет получено максимальное число  комплектов и все бревна будут распилены (в один комплект входит по одному бруску каждого размера).

 

Решение

 

По условию 1 бревно длиной 5 м необходимо распилить  на бруски по 2 м и 3 м, при этом должно получиться равное количество брусков  каждого размера. Следовательно, из одного бревна получится ровно 2 бруска, или 1 комплект. Так как всего 20 бревен, то максимальное число комплектов будет  равно 20, в том числе 20 брусков  длиной в 2 м и 20 брусков длиной в 3 м.

 

Задание 2

 

Построить область определения функции  цели и графическим методом найти  наибольшее и наименьшее значения функции  в этой области.

 

 

.

 

Решение

 

Изобразим на рисунке область определения  функции (закрашенная область):

Максимальное  значение функции (графики функции  обозначены пунктирной линии) будет  стремиться к бесконечности, так  как при заданном условии его  определить невозможно (например, как  в т. (4;8) ); минимальное значение будет в т. (0;0) .

 

Задание 3

 

Найти все  опорные решения для систем линейных уравнений.

 

 

 

Решение

 

Заполним  исходную таблицу Гаусса:

 

i	Базис
1		1	2	0	0	0	1	4
2		0	-1	0	1	1	4	5
3		0	2	1	2	0	2	7

 

Все свободные  члены положительные. При неизвестной  есть положительные коэффициенты, значит, ее можно ввести в базис:

 

i	Базис
1		1	2	0	0	0	1	4
2		0	-1	0	1	1	4	5
3		0	2	1	2	0	2	7

 

При неизвестной  есть положительные коэффициенты во втором уравнении, причем в нем нет базисной переменной. Отсюда следует, что можно ввести в базис во втором уравнении:

 

i	Базис
1		1	2	0	0	0	1	4
2		0	-1	0	1	1	4	5
3		0	2	1	2	0	2	7

 

При неизвестной  есть положительные коэффициенты в третьем уравнении, причем в нем нет базисных переменных. Отсюда следует, что можно ввести в базис в третьем уравнении:

 

i	Базис
1		1	2	0	0	0	1	4
2		0	-1	0	1	1	4	5
3		0	2	1	2	0	2	7

 

Итак, система  приведена к единичному базису. Выпишем  общее решение системы:

,

и опорное  решение .

Ответ: . 

Задание 4

 

Решить  задачу симплекс-методом, возможно формируя задачу с искусственным базисом.

 

 

 

.

 

Решение

 

Заведущий выберем столбец 3, за ведущую выберем строку 2, так как отношение свободного члена к соответствующему элементу выбранного столбца для 2 строки является наименьшим:

 

Базисные  переменные							Свободные члены	Отношение
	4	4	1	1	0	0	16
	1	1	3	0	1	0	8
	2	1	8	0	0	1	24
f	-3	-3	-5	0	0	0	0	-

 

Проведем  симплексные преобразования:

 

Базисные  переменные						Свободные члены	Отношение
			1		0
			0		0		8
			0		0		-
f			0		0		-

 

Базисные  переменные					Свободные члены
	1			0
	0			0
	-1			0
f	0			0

 

Условие оптимальности  выполнено: , .

Ответ:. 

Задание 5

 

Произвести  анализ полученного решения на чувствительность в задании 2.

 

Решение

 

 

 

.

 

Область определения функции (закрашенная  область) представлена на рисунке:

По результатам  решения задания 2 определено, что  максимальное значение функции будет  стремиться к бесконечности, а минимальное  значение будет в т. (0;0) .

Оба ресурса  по условию задачи являются бездефицитными, поэтому дополнительное увеличение переменных, входящих в область определения  функции, будет приводить к увеличению значения целевой функции.

 

Задание 6

 

Построить двойственную задачу к заданной (прямой) задаче.

 

 

.

 

Решение

 

Выполним  некоторые преобразования системы  ограничений:

.

Для данной задачи двойственная задача примет вид:

 

 

.

 

Задание 7

 

Решить  транспортную задачу методом потенциалов.

 

Пункты  отправления	Пункты  назначения				Запасы
	В1	В2	В3	В4
А1	11	4	15	7	250
А2	20	9	7	14	350
А3	18	9	3	8	300
Потребности	180	220	230	270	900

 

Решение

 

Методом минимального элемента найдем начальное  решение:

 

Поставщик	Покупатель				Запасы
	В1	В2	В3	В4
А1	-	220	-	30	250
	11	4	15	7
А2	180	-	-	170	350
	20	9	7	14
А3	-	-	230	70	300
	18	9	3	8
Потребности	180	220	230	270	900

 

Произведем  оценку полученного решения (примем ):

 

Поставщик	Покупатель
	В1	В2	В3	В4
А1	-	220	-	30	7
	11	4	15	7
А2	180	-	-	170	14
	20	9	7	14
А3	-	-	230	70
	18	9	3	8

 

Найдем  оценки свободных ячеек:

;

;

;

;

;

.

Среди оценок свободных ячеек есть отрицательные, следовательно, найденное решение не является оптимальным.

Построим  цикл для выбранной ячейки :

.

Пусть ячейка имеет порядковый номер 1. Тогда на четных местах цикла оказались ячейки . Наименьшее значение в данных ячейках – 30.

Преобразуем план и оценим его (примем ):

 

Поставщик	Покупатель
	В1	В2	В3	В4
А1	30	220	-	-
	11	4	15	7
А2	150	-	-	200	14
	20	9	7	14
А3	-	-	230	70
	18	9	3	8