Задачи по высшей математике

      Задача 1. Найти все значения корня .

      Решение. Корень n-й степени из комплексного числа z имеет n различных значений.  Для нахождения значений корня необходимо вначале определить модуль и аргумент комплексного числа . Находим:

,

.

      Переходя  затем к тригонометрической форме  записи комплексного числа, получим

.

      Полагая k = 0, 1, 2, 3 найдем четыре корня, различающиеся между собой аргументами, но расположенные на одной и той же окружности радиуса :

      k = 0:   ,

      k = 1:   ,

      k = 2:   ,

      k = 3:   .

      Ответ: . 

      Задача  2. Представить в алгебраической форме: . 

      Решение. Применяя известную формулу, получим

(

)

.

      Задача  3. Найти интеграл от функции комплексного переменного:

      а) ; BC – отрезок от т. до т. .

      б) .

       Решение. а) Кривая интегрирования l состоит из двух частей, поэтому, используя свойство  интеграла , можем записать

.

      Сначала вычислим интеграл по участку AB. Поскольку участок AB представляет собой часть окружности, то записываем ( /2) и находим , , , . Подставляем в подынтегральное выражение и вычисляем первый интеграл

.

      Перейдем  к вычислению интеграла по отрезку  BC. Отрезок BC соединяет точки и и располагается на мнимой оси. Поэтому на данном отрезке и выступает естественным параметром при вычислении второго интеграла ( ). Находим . Подставляем в подынтегральное выражение второго интеграла и находим

.

      Складываем  значения интегралов и и окончательно получаем значение искомого интеграла

.

      б) Функция аналитична всюду, и, следовательно, интеграл не зависит от пути интегрирования и может быть вычислен по формуле Ньютона – Лейбница .

      Находим первообразную  , используя формулу интегрирования по частям

.

      Вычисляем интеграл по формуле Ньютона – Лейбница

.

      Ответ: а) , б) . 

      Задача 4. Вычислить несобственный интеграл, используя основную теорему о вычетах.

        .

      Решение. Вводим функцию комплексной переменной

.

      Степень полинома в числителе равна 2, а  степень полинома в знаменателе  равна 4. Так как степень полинома в знаменателе на две единицы больше степени полинома числителя, то  мы можем применить теорему о вычетах для вычисления заданного несобственного интеграла.

      Находим особые точки функции

.

      Особыми точками функции  являются точки - полюса 2-го порядка, так как эти точки нули второго порядка знаменатели и функция числителя аналитична во всей комплексной плоскости. В верхней полуплоскости лежит единственная точка . Вычисляем вычет функции в точке по формуле для полюса второго порядка

.

      Вычисляем искомый несобственной интеграл:

.

      Задача  5. Найти изображение по заданному оригиналу

        , 

      Решение. По таблице оригиналов-изображений находим

: ,

 : ,

 : ,

(по известной формуле из школьной тригонометрии) =

= (по таблице) =:

.

      Используем  свойство линейности преобразования Лапласа и находим искомое изображение заданной функции:

.

      Задача. 6. Найти оригинал по заданному изображению.

        ,

      Решение.  Преобразуем таким образом, чтобы можно было воспользоваться таблицей изображений:

.

      (В  третьем слагаемом  в знаменателе выделили полный квадрат).

      Функция является изображением оригинала  
, функция - изображением оригинала , функция - изображением оригинала , функция – изображением оригинала .Рассмотрим функцию . По таблице  
находим . Применив свойство запаздывания оригинала , получим оригинал для изображения :

.

      Используя свойство линейности преобразования Лапласа, окончательно найдем оригинал заданного изображения:

.

      Задача 7. Операционным методом найти частное решение дифференциального уравнения:

       .

      Решение. Пусть . Тогда по свойству дифференцирования оригинала получим изображение : . Находим изображение функции по  таблице:

.

      Применяя  преобразования Лапласа к обеим  частям дифференциального уравнения, приходим к операторному уравнению вида

.

      Отсюда  находим  . По свойству линейности преобразования Лапласа и таблице изображений восстанавливаем искомое частное решение дифференциального уравнения:

.

      Задача  № 8. Задан закон распределения д.с.в. X таблицей 

 

      Найти , определить математическое ожидание MX, дисперсию DX,  функцию распределения F(x) и построить ее график.

      Решение. Из условия нормировки вероятностей определяем коэффициент :

.

      Используя известные формулы , находим математическое ожидание MX и дисперсию DX:

,

(–3)²×0,1+(–1)²×0,2+0²×0,1+2²×0,3+5²×0,3–1,6²=7,24. 
 

      Для определения функции распределения  , воспользуемся формулой  из лекций

      График  функции изображен на рис. 1 

 

Рис. 1. 

      Ответ:

      Задача  №9. Задана плотность распределения вероятностей

н.с.в. X. Найти параметр С, функцию распределения , математическое ожидание , дисперсию и вероятность попадания с.в. X в интервал [0,5; 1]. Схематически изобразить графики функций и .

      Решение. Используя свойство нормированности функции плотности распределения вероятностей , найдем значение параметра C:

,

отсюда  находим  .

      По  формуле (см. лекции) найдем функцию распределения заданной н.с.в. X:

      Изобразим графики функций  и (рис. 2). 

 

Рис. 2. 

Найдем математическое ожидание MX, дисперсию DX и среднее квадратическое отклонение заданной н.с.в. X:

      

      

,

,

.

      По  формуле  из лекции найдем вероятность :

. 

      Ответ: .