Задачи по геометрии

Задача №1

      Отрезок PN диаметр сферы. Точки М, L лежат на сфере так, что объем пирамиды PNML наибольший. Найдите синус угла между плоскостями PML и NML. 

Решение задачи №1

Если за основанию  пирамиды принять грань PNM и провести через нее сечение, то получим пирамиду PNML, вписанную в полусферу

R-радиус сферы  

 ∆PML=∆LMN и равносторонние. Из ∆POL-прямоугольный PL= *R=LM=PM=LN=MN=LM PA=AN высоты ∆PML и ∆NML. Требуется найти угол <PAN=<α (обозначим) 

PA=AN=

 

_{Из  ∆PAN по теореме косинусов} 

 

_Ответ:

 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

_{Задача №2} 

    _{Отрезок LM диаметр сферы. Точки K, N лежат на сфере так, что объем пирамиды NKLM наибольший. Найдите синус угла между прямой MT и плоскостью LMN,  если T середина ребра KN.} 

_{Решение задачи №2}

   

Если за основанию  пирамиды принять грань LMN и провести через нее сечение, то получим пирамиду NKLM, вписанную в полусферу.

 TA =

 
 

_{∆KMN-равносторонний т.к., точка L,M,N-вершины перпендикулярных радиусов сферы.} 

MT =

 
 
 
 
 

_{∆TAM-прямоугольный, <A-прямой}

 
 
 

 
 
 
 
 

_Ответ:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

_{Задача  №3}

     _{Отрезок AB, равный                    , - диаметр сферы. Точка C,D лежат на сфере так, что объем пирамиды ABCD, наибольший. Найдите площадь треугольника KDT, где K и T-середины ребер AC и BC соответственно.} 
 
 

_{Решение:}                                                                                                                                                                                   

_{Если за основанию  пирамиды принять  грань ABC и провести через нее сечение, то получим пирамиду ABCD, вписанную в полусферу. Vпир=                                                         .    Объем пирамиды будет наибольшей, если площадь основания и}  

_{высота будут  наибольшими. Высота наибольшая, при H=R (высота равна радиусу).}  
 
 

_{Т.к. a є AB (постоянная величина) h=OM=R (высота треугольника падает на центр окружности)}

_{Угол <M=90, т.к. AB-диаметр, TK-средняя линия ∆ABC, TK=R.}  

 
 
 

_{DP находя из ∆DOC}

 
 
 
 

_Ответ: 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

_{Задача 4} 

    _{Отрезок  AB-диаметр сферы. Точки C,D лежат на сфере так, что объем пирамиды ABCD наибольший. Найдите тангенс угла между прямой СМ и плоскостью ABD, если М-середина ребра BD.} 
 

    _{Решение:}

     _{Так так ∆CBD равносторонний, стороны}  
 

 
 
 
 

_{Из  ∆DOB –прямоугольный КМ-средняя линия треугольника,}  

_{Из  треугольника ∆МКС находя КС по теореме  Пифагора:}  
 

 
 
 
 
 

_{tg<KMC=tg<α=}

 
 

_{Ответ: tgα=} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

_{Задача 5} 

     _{Отрезок PN – диаметр сферы. Точки M, L лежат на сфере так, что объем пирамиды PNML наибольший. Найдите синус угла между прямой NT и плоскостью PMN, если T середина ребра ML.} 
 

_{Решение:}

    Если за основанию пирамиды принять грань PNM и провести через нее сечение, то получим пирамиду PNML, вписанную в полусферу 

_TC=

 
 
 
 

_{∆LMN-равносторонний т.к., точка L,M,N-вершины перпендикулярных радиусов сферы.}

_NT= 
 
 

_{∆TCN-прямоугольный, <C-прямой}

_TN= 
 
 
 
 
 

  _Овтет: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

_{Задача 6} 

     _{Отрезок PN, равный 8, диаметр сферы. Точки M,L лежат на сфере так, что объем пирамиды PNML наибольший. Найдите площадь, треугольника KLT, где K и T –середины ребер PM и NM соответственно.} 
 

_{Решение:     Имеется два рисунка} 

_{Если за основанию  пирамиды принять  грань PNM и провести через нее сечение, то получим пирамиду PNML, вписанную в полусферу. Vпир=                                                         .    Объем пирамиды будет наибольшей, если площадь основания и}  

_{высота будут  наибольшими. Высота наибольшая, при H=R (высота равна радиусу).}  
 
 

_{Т.к. a є PN (постоянная величина) h=OM=R (высота треугольника падает на центр окружности)}

_{Угол <M=90, т.к. PN-диаметр, TK-средняя линия ∆PNM, TK=R.}  

_S∆KLT=

                                                            _{.          LB находим из ∆LOM} 
 
 
 
 

  

          
 
 
 

 

 

   _S∆KLT=

 

    _{Ответ:  S∆KLT=}

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

_{Задача 7} 

     _{Через центр О данной сферы радиуса 6 проведено сечение. Точка F выбрана на сфере, а точки A, B, C, D –последовательно на окружности сечения так, что объем пирамиды FABCD наибольший. Точки M и L-середины ребер CB и CD соответственно. Найдите площадь треугольника FML.} 

_{Решение:}   

_{ML-средняя линия ∆BCD ML=R=6} 

 
 
 
 
 
 
 
 

                                     _{Ответ: S∆FML=} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

_{Задача 8} 

     _{Через центр О данной сферы радиуса 10 проведено сечение. Точка F выбрана на сфере, а точки A, B,C,D последовательно на окружности сечения так, что объем пирамиды FABCD наибольший. Точки M и L лежат соответственно на ребрах FD и FB так, что FM:MD=FL:LB=2:3. Найдите площадь треугольника CML} 
 

_{Решение:}    

_{Vпир=               .       S-наибольший, при ABCD-квадрат. H=R-наибольшая высота   R=10} 

_{Из  подобия ∆BDF подобны ∆LMF}

_{FL:BF=2:5=LM:BD} 

 

_LM=8 
 

_{Рассмотрим  ∆FOC}

 
 
 

_{Из  треугольника ∆КОС}

 
 
 

   

 
 
 
 

_S∆CML=

_{Ответ: S∆CML=}