Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными Общие и частные решения

Электронная лекция на тему:

«Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными

Общие и частные решения»

Студентка: Мирошина Виктория

Группа: 2ГК-5С

Преподаватель: Литвинова И.А.

2011 год

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например,  не является дифференциальным уравнением. Стоит также отметить, что дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных.

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные y'(x),y''(x),...,y(n)(x) до порядка nвключительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения вида

 или ,

где  — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной , штрих означает дифференцирование по . Число  называется порядком дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

,

где  — независимые переменные, а  — функция этих переменных.

Примеры

y'' + 9y = 0 — однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решением является семейство функций y = (C1cos(3x) + C2sin(3x)), где C1 и C2 — произвольные константы.

Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения , где m — масса тела, x — его координата, F(x,t) — сила, действующее на тело с координатой x в момент времени t. Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.

Колебание струны задается уравнением , где u = u(x,t) — отклонение струны в точке с координатой x в момент времени t, параметр a задает свойства струны. Это так называемое волновое уравнение.

Частное решение дифференциального уравнения

Частным решением дифференциального уравнения на интервале  называется каждая функция y(x), которая при подстановке в уравнение вида

обращает его в верное тождество на интервале .

Зная общее решение однородного дифференциального уравнения и любое частное решение неоднородного уравнения, можно получить общее решение неоднородного уравнения в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного.

Общее решение дифференциального уравнения

[

Общее решение дифференциального уравнения — функция наиболее общего вида, которая при подстановке в дифференциальное уравнение вида

обращает его в тождество.

Если каждое решение дифференциального уравнения представимо в виде:

где  — конкретные числа, то функция вида

при всех допустимых значениях параметров (неопределённых констант)  называется общим решением дифференциального уравнения.

Пусть y(x) — некоторая функция, y'(x) — ее производная. Для удобства будем записывать производную виде , имеющем смысл отношения бесконечно малых приращений — дифференциалов. Дифференциал dx — приращение значения переменной в окрестности x, стремящееся к нулю. Дифференциал функции dy — малое приращение функции, dy = f(x + dx) − f(x) = y'(x)dx. Пусть f(x) и g(y) — некоторые функции от x и y. Рассмотрим уравнение

.

Уравнение такого вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Умножим его на :

.

Последнее равенство означает, что малые приращения левой и правой частей равны. Поэтому их суммы также равны. Предположим что при x = x0 y = y0 и возьмем интегралы от левой и правой частей. Пределы интегрирования — от y0 до y для левой части и от x0 для x для правой части уравнения:

.

Решая получившееся в результате интегрирования алгебраическое уравнение, мы можем выразить y(x).

Значения x0 и y0 называются начальными условиями. В случае других начальных условий решение уравнения будет отличаться на постоянную. Поэтому, если начальные условия не даны, можно взять первообразные левой и правой частей и прибавить к ним константу. Используя неопределенный интеграл — обозначение множества первообразных — , где F(x) — первообразная f(x), C — произвольная постоянная, запишем это в виде

.

Следует отметить, что у дифференциального уравнения с разделяющимися переменными могут существовать так называемые нулевые решения — постоянные y, удовлетворяющие уравнению g(y) = 0. При них равны нулю как правая, так и левая части дифференциального уравнения (поскольку производная константы равна нулю).

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение .

Разделим переменные:

.

Т. к. начальные условия не заданы, возьмем неопределенный интеграл от обеих частей уравнения:

,

.

Осталось лишь выразить y через x:

.

Найдем также нулевые решения:

.

Ответ: .

Пример 2

Определить максимальную скорость, которую может развить ракета в космосе. Начальная скорость ракеты равна нулю. Масса ракеты без топлива равна m, с топливом — m0. Скорость выброса топлива относительно ракеты равна u. Ракета движется вдали от звезд и планет.

Рис. 1

Пусть ракета движется вдоль оси Ox (Рис. 1). В некоторый момент от нее отделяется малая масса топлива ( − dm). При этом скорость ракеты увеличивается на dv. Запишем закон сохранения импульса в проекции на Ox:

mv = ( − dm)(v − u) + (v + dv)(m + dm).

Раскрыв скобки и приведя подобные, получим:

mdv = − udm − dvdm.

Величина dvdm — произведение двух бесконечно малых величин. Поэтому ею можно пренебречь:

mdv = − udm.

Интегрируем:

,

,

,

.

Впервые эта формула была получена К. Э. Циолковским.

Ответ: .

Пружина жесткостью k с прикрепленным к ней грузом массой m находятся в горизонтальной плоскости в положении равновесия, совпадающем с началом координат. Свободный конец пружины закреплен. Пружина параллельна оси Ox. В начальный момент времени грузу сообщают скорость v0 вдоль Ox. Найти зависимость координаты груза от времени.

Рис. 2

В произвольный момент времени координата груза равна x, скорость — v (Рис. 2). Запишем закон сохранения энергии:

.

Выполним следующие преобразования:

,

,

.

Введя обозначение  и записав скорость в виде , получим дифференциальное уравнения с разделяющимися переменными:

.

Разделим переменные:

Для этого выполним замену . Тогда . Выразим дифференциал dx: , . Теперь интегрируем:

. Подставляя в уравнение, имеем:

,

,

.

Движения, происходящие по закону синуса или косинуса называются гармоническими колебаниями. Рассмотренная система называется пружинным маятником. Видно, что в нашем случае максимальный модуль координаты равен . Он часто обозначается буковой A и называется амплитудой колебаний. Амплитуда гармонических колебаний всегда определяется начальными условиями.

Ответ: