Законы распределения вероятностей случайных величин

Для изделий общего машиностроения обычно принято рассчитывать надежность при 90% доверительной вероятности. Отступать  от этого правила можно только в том случае, когда условия  применения машин такие, при которых  отказ может привести к аварии, катастрофе или слишком большим  затратам материальных средств. В этом случае рекомендуется более высокая  доверительная вероятность —  до 99,9%.

При определении закона распределения  случайной величины надо обработать экспериментальный статистический материал. Для придания ему наглядности  и компактности рекомендуется опытные  данные представлять в виде статистического ряда; при этом весь диапазон значений случайной величины разбивается на интервалы. Обычно принимают 7—20 интервалов. Большое число интервалов принимается для обширного и довольно однородного статистического материала.

Интервалы удобно принимать  равными. Однако, если при равных интервалах количество значений случайной величины в интервале оказывается меньше пяти, принимаются интервалы различной длины. Для каждого интервала подсчитывается — количество значений случайной величины, попавших в интервал:

 

       (71)

 

Здесь n — количество проведенных опытов. Накопленная частость для всех интервалов должна быть равна единице, что служит проверкой правильности вычисления частостей для каждого интервала.

Результаты подсчетов  указанных величин представляют в виде таблицы, по данным которой  строят гистограмму. Для построения гистограммы по оси абсцисс откладываем  интервалы  случайной величины t_p (например, время безотказной работы) и на каждом из. интервалов строим прямоугольник с площадью, равной частости появления случайной величины в данном интервале. Высоты прямоугольников пропорциональны соответствующим частостям и равны эмпириямческой плотности вероятности для каждого интервала. Примерный вид гистограммы показан на рис. 10.

Анализируя гистограмму, можно обнаружить характерные признаки того или иного закона распределения  вероятностей случайной величины по построенной выравнивающей кривой. По характеру гистограммы (рис. 81) можно  предположить, что исследуемая случайная  величина распределена по экспоненциальному закону. При подборе теоретической кривой распределения между нею и статистическим распределением неизбежны некоторые расхождения. При этом необходимо знать, объясняются ли эти расхождения только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом опытных данных, или они являются существенными и связаны с тем, что подобранная кривая плохо выравнивает данное статистическое распределение. Установить это можно с помощью критерия согласия Пирсона (критерия )

     (72)

где — число интервалов статистического распределения;

— количество значений случайной величины в каждом интервале; — общее число наблюденных значений случайной величины; — теоретическая вероятность попадания случайной величины в i-й интервал.

Распределение зависит от параметра r, называемого числом степеней свободы. Число степеней свободы равно числу интервалов за вычетом независимых условий (связей) s, наложенных на частости :

       (73)

Такими связями могут  быть:

 

(74)

 

где — частость появления случайной величи ны в i-ом интервале;

 — представитель итого интервала, который принимается за середину интервала;

      (75)

m* — среднее статистическое значение случайной величины; D* — статистическая дисперсия.

В формулах (74) равенство а выражает требование, чтобы сумма частостей была равна единице (это требование накладывается во всех случаях). Равенство Ь применяют в случаях, когда подбирают теоретическое распределение с тем условием, чтобы совпадали теоретическое и статистическое средние значения. Равенство с применяют тогда, когда требуется совпадение теоретической и статистической дисперсий.

Значения вероятностей попадания  случайной величины в интервал равны  приращению функции вероятности  на этом интервале. Для распределения X² имеется специальная таблица [11], пользуясь которой, можно для полученного значения и определенного числа степеней свободы r найти вероятность Р того, что величина, распределенная по закону , превзойдет это значение. Если получаемая вероятность больше 0,05, считают, что экспериментальные данные не противоречат принятому теоретическому закону распределения случайной величины. Применяя законы распределения случайных величин для решения практических задач, можно использовать специальный сборник таблиц для анализа и контроля надежности [84].

 

Глава IV. введение в техническую диагностику

Техническая диагностика  исследует формы проявления отказов  в технических устройствах, разрабатывает  методы их обнаружения, а также принципы конструирования диагностирующих  систем. Под системой понимают любое  техническое устройство, выполняющее  заданные функции. Каждая система может характеризоваться рядом параметров, одни из которых выступают как основные, а другие — как второстепенные. Первые характеризуют выполнение системой заданных функций, вторые— удобство эксплуатации, внешний вид и т. д.

Система называется исправной, если она соответствует всем предъявленным к ней требованиям, т. е. если все параметры системы, как основные, так и второстепенные, находятся в некоторых заданных пределах. Выход любого параметра из этих пределов означает, что система неисправна.

Главная задача технической  диагностики состоит в поиске отказавших элементов системы, причем здесь важны формы проявления и методы поиска отказавших элементов. Процедуры поиска отказавшего элемента могут иметь различный характер. Например, в зависимости от степени и характера участия человека можно выделить неавтоматический и автоматический поиск. В первом случае установление причин отказа системы осуществляется человеком; во втором — техническим устройством, называемым диагностирующей системой, предназначенным для автоматического осуществления процедуры поиска.

Процедура диагностики включает в себя целую совокупность операций контроля, причем требуется определить, какие именно из этих операций следует осуществлять и в какой последовательности, как использовать результаты этих операций для получения информации о состоянии системы. Теория надежности дает общую теоретическую базу для решения задач технической диагностики.

В качестве примера рассмотрим систему, находящуюся в одном  из случайных состояний  известна некоторая совокупность признаков, каждый из которых с определенной вероятностью характеризует положение системы. Требуется определить вероятность различных состояний системы, причем одни из них могут принадлежать к классу нормальных состояний, а другие связаны с появлением тех или иных неисправностей (дефектов). Наблюдаемый признак должен иметь только качественную определенность, поэтому наблюдаемые количественные параметры должны разбиваться на ряд интервалов, и признаком будет наличие или отсутствие параметра в заданном интервале.

В результате наблюдений за поведением системы в процессе эксплуатации устанавливают статистические вероятности признаков при состояниях , т. е. величины . Так, если исследованию подвергнуть систем в состоянии и в из них обнаружат признак то

      (76)

Пусть имеется совокупность т признаков . Обозначим ее для краткости A. Тогда вероятность состояния при наличии комплекса признаков А будет

     (77)

где — априорная вероятность состояния ; —вероятность появления комплекса признаков А при состоянии ; Р(А) 

вероятность того, что в  исследуемой системе должен обнаружиться комплекс признаков А.

Величину Р() определяют по статистическим данным. Так, если из общего числа N исследуемых объектов состояние Н обнаружено у N, объектов, то

      (78)

Здесь предполагается, что  состояния  образуют полную группу несовместимых событий, т. е. одно из них обязательно реализуется; одновременная реализация двух состояний невозможна.

Поскольку комплекс признаков А всегда появляется с одним из состояний , то полная вероятность

     (79)

После подстановки выражения (79) в равенстве (77) получим формулу Байеса для комплекса признаков

     (80)

В общем случае признаки не являются независимыми, поэтому

  (81)

Вычисления условных вероятностей, входящих в формулу (81), при большом  количестве признаков требует трудоемкой обработки статистического материала. Однако, если признаки , входящие в комплекс A, являются независимыми для каждого состояния, то данная задача упрощается. В этом случае

   (82)

Тогда из выражений (77) и (78) получим

   (83)

По этой формуле могут  быть вычислены вероятности всех состояний системы при наличии комплекса независимых признаков. Признак , будет называться детерминирующим для состояния если для всех других состояний = 0 (при ). Тогда из формулы (83) получим

     (84)

Вероятность самого детерминирующего признака для определяемого им состояния может быть произвольной, отличной от нуля, т. е. . Важно только, чтобы признак не встречался при других состояниях.

Формулу (83) можно использовать и в том случае, когда некоторые из признаков для данного состояния являются зависимыми. Пусть, например, зависимыми признаками для состояния оказались и . Тогда в формулу (83) вместо произведения следует внести

 

Соответственно при обработке  статистических данных должны быть учтены случаи, когда признаки и наблюдаются одновременно. Если , то признаки и не являются независимыми. Такая проверка на зависимость может быть проведена для любой совокупности признаков. В большинстве случаев независимость признаков можно установить из физических соображений.

Если признаки, входящие в комплекс A, являются зависимыми, то расчет производят по формуле (83) с учетом соотношения (84). Для расчета вероятностей состояний по формулам (83) или (85) надо предварительно

 

 

Таблица 1
	0,2 0,4 0	0,3 0,5 0,05	0,05 0,15 0,80

составить диагностическую  таблицу, в которую заносятся априорные вероятности состояний по данным статистики и условные вероятности признаков для рассматриваемых состояний . Если таблица содержит большое количество состояний и признаков, то расчет выполняют на электронных вычислительных машинах (ЭВМ). Эти машины необходимы и в том случае, когда в процессе наблюдения надо принять быстрое решение (например, выключение объекта при большой вероятности аварийного состояния). При этом важное значение приобретает непосредственный ввод информации в ЭВМ с помощью непрерывной записи показаний приборов и переработка этой информации в систему признаков уже в самой машине.

Пример. Необходимо при наблюдении за газотурбинным двигателем проверить два признака: — повышение температуры газа за турбиной более чем на 50° С и — увеличение времени выхода на максимальные обороты более чем на 5 сек (данные примера условны).

Предположим, что для данного  типа двигателей появление этих признаков  связано либо с неисправностью топливного регулятора (состояние  либо с увеличением радиального зазора в турбине (состояние ). При нормальном состоянии двигателя (состояние ) признак не наблюдается, а признак наблюдается в 5% случаев. На основании статистических данных известно, что 80% двигателей вырабатывают ресурс в нормальном состоянии, 5% двигателей имеют состояния и 15% — состояние . Известно также, что признак встречается при состоянии в 20%, а при состоянии —в 40% случаев; признак при состоянии встречается в 30%, а при состоянии —в 50% случаев. Сведем все эти данные в Диагностическую табл. 1.

Определим сначала вероятности  состояний двигателя, когда обнаружены оба признака и . Для этого, считая признаки и независимыми, по формуле (83) получаем

 

аналогично .

Определяем вероятность  состояний двигателя, если обследование показало, что при отсутствии признака признак наблюдается. Отсутствие признака можно рассматривать как противоположное событие, причем

 

Используя формулу (83) и заменив в диагностической табл. 1 значение на , получим

 

Аналогично 

Определяем вероятности  состояний в том случае, когда  оба признака отсутствуют. Аналогично предыдущему получим

 

 

 

Вероятностные состояния  и отличны от нуля потому, что рассматриваемые признаки не являются детерминирующими.

Из приведенных расчетов можно установить, что при наличии  признаков и в двигателе с вероятностью 0,91 имеется состояние , т. е. увеличение радиального зазора. При отсутствии обоих признаков наиболее вероятно нормальное состояние (вероятность 0,92). При отсутствии признака и наличии признака а₂ вероятности состояний и примерно одинаковы (0,46 и 0,41) и для уточнения состояния двигателя требуется проведение дополнительных обследований.