Имитационная модель временного ряда

Введение

Актуальность данной курсовой работы обусловлена тем, что имитационное моделирование применяется к  процессам, в ход которых может  время от времени вмешиваться  человек, руководящий операцией, который может в зависимости от сложившейся обстановки, принимать те или другие решения.

Цель курсовой работы –  рассмотреть основные методы имитационного  моделирования и построить модель временного ряда.

Для достижения цели необходимо выполнить задачи:

1. понять сущность имитационной модели;
2. рассмотреть этапы ее построения;
3. рассчитать основные показатели;
4. построить модель временного ряда.

Предмет исследования –  временной ряд, объект – имитационное моделирование.

Имитационные модели строят, когда объект моделирования настолько  сложен, что описать его поведение, например, математическими уравнениями невозможно или очень трудно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Имитационная модель временного ряда
1. Понятие имитационного моделирования

 

Слово «имитация» (от лат. imitation – подражание) означает воспроизведение определенным образом явлений, действий, объектов и т.п.

Имитационные модели строят, когда объект моделирования настолько  сложен, что описать его поведение, например, математическими уравнениями невозможно или очень трудно.

Но не смотря на то, что имитационные модели воспроизводят сложные объекты, при разумном подходе они обеспечивают большую близость модели к моделируемому объекту, чем при применении какого-либо одного точного математического метода. Большая близость получается путем воспроизведения тех или иных свойств объекта или воздействия на него в форме, понятной большинству людей, являющихся специалистами по различным аспектам деятельности данного объекта. Таким образом, экспертами при имитационном моделировании может выступать больший круг людей, а следовательно, обеспечивается большая адекватность модели реальному объекту.

Этапы построения имитационных моделей:

1. Процедура построения имитационных моделей заключается в выполнении этапов работ в следующей последовательности.
2. Содержательное описание объекта моделирования в виде системы, постановка задачи и формирование целей.
3. Формализация задачи, построение структуры модели, определение целевых функций и критериев достижения целей.
4. Выбор методов моделирования для конкретных элементов моделируемой системы.
5. Построение модели, разработка моделирующего алгоритма и апробация на конкретном примере, необходимая корректировка модели.
6. Моделирование системы, включая планирование имитационных реализаций, имитирование входных и управляющих сигналов, помех, пробных и несанкционированных воздействий на те или иные атрибуты системы, вычисление различных статистических характеристик.
7. Анализ результатов моделирования, выбор наиболее эффективной структуры и стратегии поведения моделируемой системы с учетом наиболее вероятных входных и возмущающих воздействий.
8. Подготовка отчета об имитационном моделировании в терминах данного объекта или процесса и планирование внедрения результатов моделирования в практику.

 

1.2. Расчет показателей динамики развития экономических процессов

 

Этот расчет проводится на основе статистического анализа  одномерных временных рядов экономической  динамики. Для статистического анализа  одномерных временных рядов экономических  показателей вида абсолютные уровни моментных и интервальных рядов, а также уровни из средних величин должны быть преобразованы в относительные величины. Их можно получить соотнесением уровней ряда с одним и тем же уровнем, взятым за базу (за базу сравнения чаще всего принимают начальный уровень временного ряда ), либо последовательными сопоставлениями с предыдущим уровнем. В первом случае получают базисные показатели, во втором – цепные.

При анализе временных  рядов для определения изменений, происходящих в данном явлении, прежде всего, вычисляют скорость развития этого явления во времени. Показателем скорости служит абсолютный прирост, вычисляемый по формуле:

 

 

, (1)

 

где – i-й уровень временного ряда (i=2, 3,…, n); индекс k=1, 2,…, n-1 определяет начальный уровень и может быть выбран любым в зависимости от целей исследования: при k=1 получаются цепные показатели, при k=i-1 получаются базисные показатели с начальным уровнем ряда в качестве базисного и т.д.

Абсолютный прирост выражает величину изменения показателя за интервал времени между сравниваемыми  периодами. Если подходить более  строго, то скоростью называют прирост  в единицу времени; эта величина носит название среднего абсолютного  прироста:

 

. (2)

 

В частности, средний абсолютный прирост за весь период наблюдения для данного временного ряда равен

 

 (3)

 

и характеризует среднюю  скорость изменения временного ряда.

Для определения относительной  скорости изменения изучаемого явления  в единицу времени используют относительные показатели: коэффициенты роста и прироста (если эти показатели выражены в процентах, то их называют соответственно темпами роста и  прироста). Заметим, что во всех последующих  формулах индекс начального уровня, по отношению к которому осуществляется сопоставление, определяется точно  так же с помощью индекса k, как и ранее для показателя абсолютного прироста.

Коэффициент роста для  i-го периода вычисляется по формуле

 

. (4)

, если уровень повышается; , если уровень понижается; при уровень не меняется.

Коэффициент прироста равен

или

. (5)

На практике чаще применяют  показатели темпа роста и темпа прироста:

, (6)

где – темп прироста i-го периода;

или

, (7)

 

где – темп прироста для i-го периода.

Темп прироста показывает, на сколько процентов уровень  одного периода увеличился (уменьшился) по сравнению с уровнем другого  периода, т.е. этот показатель выражает относительную величину прироста в процентах. Сравнение абсолютного прироста и темпа прироста за одни и те же промежутки времени показывает, что в реальных экономических процессах замедление темпа прироста не сопровождается уменьшением темпов абсолютных приростов.

Зависимость значений уровней  временного ряда от предыдущих (сдвиг  на 1), предыдущих (сдвиг на 2) и так  далее уровней того же временного ряда называется автокорреляцией во временном ряду. Для получения  числовой характеристики такой внутренней зависимости вычисляют взаимную корреляционную функцию между исходным рядом и этим же рядом, сдвинутым во времени на величину . Такая функция называется автокорреляционной, она характеризует внутреннюю структуру временного ряда и состоит из множества коэффициентов автокорреляции (нециклических), рассчитываемых по формуле:

 

. (8)

 

Задавая различные значения =1, 2, 3,…, получаем последовательность значений . На практике рекомендуется вычислять такие коэффициенты в количестве от n/4 до n/3.

График автокорреляционной функции называется коррелограммом. Величина сдвига , которому соответствует наибольший коэффициент автокорреляции, называется временным лагом.

 

 

3. Аномальные уровни во временных рядах

 

Аномальные уровни во временных  рядах могут возникать из-за воздействия  факторов, имеющих объективный характер, но проявляющийся эпизодически, очень  редко – ошибка второго рода; они устранению не подлежат.

Для выявления аномальных уровней временных рядов используются методы, рассчитанные для статистических совокупностей.

Метод Ирвина, например, предполагает использование следующей формулы:

 

  , (9)

 

где среднеквадратическое отклонение рассчитывается в свою очередь с использованием формул:

 

; . (10)

 

Расчетные значения , и т.д. сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина , и если оказываются больше табличных, то соответствующее значение уровня ряда считается аномальным. Значения критерия Ирвина для уровня значимости , то есть с 5% ошибкой, приведены в табл. 1.

 

Табл. 1. Значения критерия Ирвина

n	2	3	10	20	30	50	100
	2,8	2,8	1,5	1,3	1,2	1,1	1

 

Для определения наличия  тренда в исходном временном ряду применяется метод проверки разностей  средних уровней, который состоит  из 4 этапов:

1. Исходный временной ряд разбивается на две примерно равные по числу уровней части: в первой части первых уровней исходного ряда, во второй – остальных уровней ( + = ).
2. Для каждой из этих частей вычисляются средние значения и дисперсии:

 

; ; (11)

; .

 

3. Проверяются равенства (однородности) дисперсий обеих частей ряда с помощью F-критерия Фишера, которая основана на сравнении расчетного значения этого критерия

 

 

Если расчетное значение F меньше табличного , то гипотеза о равенстве дисперсий принимается. Если F больше или равно , гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется и делается вывод, что данный метод для определения наличия тренда ответа не дает.

4. Проверяется гипотеза об отсутствии тренда с использованием t-критерия Стьюдента. Для этого определяется расчетное значение критерия Стьюдента по формуле:

 

, (12)

 

где – среднеквадратическое отклонение разности средних:

 

 (13)

 

Если расчетное значение t меньше табличного значения статистики Стьюдента с заданным уровнем значимости , гипотеза принимается, т.е. тренда нет, в противном случае тренд есть. Заметим, что в данном случае табличное значение берется для числа степеней свободы, равного , при этом данный метод применим только для рядов с монотонной тенденцией.

 

4. Тренд во временном ряду
5. Автокорреляция и временной лаг
6. Сезонная волна
7. Аналитическая волна с использованием рядов Фурье
8. Оценка адекватности и точности в трендовых моделях

Независимо от вида и способа  построения экономико-математической модели вопрос о возможности ее применения в целях анализа и прогнозирования  экономического явления может быть решен только после установления адекватности, т.е. соответствия модели исследуемому процессу или объекту. При моделировании имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам модели, которые считаются существенными для исследования.

Трендовая модель конкретного временного ряда y_t считается адекватной, если правильно отражает систематические компоненты временного ряда. Это требование эквивалентно требованию, чтобы остаточная компонента (t = 1, 2,…, n) удовлетворяла свойствам случайной компоненты временного ряда: случайность колебаний уровней остаточной последовательности, соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения, равенство математического ожидания случайной компоненты нулю, независимость значений уровней случайной компоненты.

Поворотной точкой считается ε_t, общее число поворотных точек для остаточной последовательности ε_t обозначается через p.

В случайной выборке математическое ожидание числа точек поворота р и дисперсия выражаются формулами:

 

; . (20)

 

Критерием случайности с 5%-ным уровнем значимости является выполнение неравенства

 

, (21)

 

где квадратные скобки означают целую часть числа. Если это неравенство не выполняется, трендовая модель считается неадекватной.

Проверка равенства математического  ожидания случайной компоненты нулю, если она распределена по нормальному  закону, осуществляется на основе t-критерия Стьюдента. Расчетное значение этого критерия задается формулой

 

. (22)

 

где - среднее арифметическое значение уровней остаточной последовательности ε_t;

- стандартное (среднеквадратическое) отклонение для этой последовательности.

Если расчетное значение t меньше табличного значения t_α статистики Стьюдента с заданным уровнем значимости α и числом степеней свободы n-1, то гипотеза о равенстве нулю математического ожидания случайной последовательности принимается; в противном случае эта гипотеза отвергается и модель считается неадекватной.