Интегралы

Интегралы

Имеется несколько типов интегралов: неопределенный и определенный интегралы, интеграл Римана и Римана-Стилтьеса, интеграл Лебега и Лебега-Стилтьеса, интеграл Даниэля. По области интегрирования интегралы подразделяются на кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.

Историческая справка

Интегрирование берет свое начало ещё в древнем Египте примерно с 1800 года до н. э., о чем свидетельствует Московский математический папирус (или математический папирус Голенищева). Первым известным методом для расчёта интегралов является метод для исследования площади или объёма криволинейных фигур - метод исчерпывания Евдокса (Евдокс Книдский (ок. 408 г. до н.э. - ок. 355 г. до н.э.) - древнегреческий математик, механик и астроном), который был предложен примерно в 370 до н. э. Суть этого метода заключается в следующем: фигура, площадь или объем которой пытались найти, разбивалась на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известны. Этот метод получил свое дальнейшее развитие в работах древнегреческого математика, физика и инженера Архимеда (287 до н.э. - 212 до н.э.) для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга. Аналогичные методы были разработаны в Китае в третьем веке нашей эры китайским математиком Лю Хуэйем (ок. 220 - ок. 280), который с их помощью находил площадь круга. Для нахождения объёма шара этот метод использовали китайский математик, астроном, механик, писатель Цзу Чунчжи (429 - 500) вместе со своим сыном, также математиком и астрономом, правителем области и государственным казначеем, Цзу Гэном.

Далее большой шаг вперед в развитии интегрального исчисления был предпринят в 11 веке в Ираке арабским ученым-универсалом, математиком, механиком, физиком и астрономом Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хасан ибн аль-Хайсам аль-Басри (965-1039) (или Ибн ал-Хайсамом, в Европе известном как Alhazen), который в своей работе "Об измерении параболического тела" приводит формулы для суммы последовательных квадратов, кубов и четвёртых степеней, и ряд других формул для сумм рядов. С помощью этих формул он проводит вычисление, равносильное вычислению определённого интеграла:

Используя математическую индукцию, он смог обобщить свои результаты для интегралов от многочленов до четвёртой степени. Таким образом, он был близок к поиску общей формулы для интегралов от полиномов не выше четвёртой степени.

Следующий значительный толчок в исчислении интегралов состоялся лишь в 16 веке в работах итальянского математика Бонавентура Франческо Кавальери (1598 - 1647), в которых описывался предложенный им метод неделимых, а также в работах французского математика Пьера де Ферма (1601 - 1665). Этими учеными были заложены основы современного интегрального исчисления. Дальнейшее развитие связано с деятельностью английского математика, физика и богослова Исаака Барроу (1630 - 1677) и итальянского математика и физика, ученика Галилея Эванджелиста Торричелли (1608 - 1647), которые представили первые намеки на связь между интегрированием и дифференцированием.

За время становления интегрального исчисления менялось и обозначение интеграла. Английский физик, механик, математик и астроном Исаак Ньютон (1643 - 1727) использовал, правда не во всех своих работах, в качестве символа интегрирования значок квадрата перед обозначением функции или вокруг него, а также вертикальную черту над функцией, но эти обозначения не получили широкого распространения. Современное обозначение неопределённого интеграла было введено немецким философом, логиком, математиком, механиком, физиком, юристом, историком, дипломатом, изобретателем и языковедом Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646 - 1716) в 1675 году. Он образовал символ интеграла из буквы "длинная s" (от первой буквы слова Summa - сумма) Современное обозначение определённого интеграла, с указанием пределов интегрирования, было впервые предложено французским математиком и физиком Жаном Батистом Жозефом Фурье (1768 - 1830) в 1819-20 годах. Сам термин "интеграл" придумал швейцарский математик Якоб Бернулли (1654 - 1705) в 1690 году.

Большой вклад в создание интегрального исчисления внес великий французский математик и философ Блез Паскаль (B. Pascal, 1623–1662). Изучая циклоиду, Паскаль предложил общие методы определения длин и центров тяжести различных кривых. В “Трактате о синусах четверти круга” он вычислял интегралы от тригонометрических функций и ввел эллиптические интегралы, которые позднее сыграли значительную роль в интегральном исчислении и его приложениях. Паскаль доказал ряд теорем, касающихся интегрирования по частям и замены переменной.

Связь между интегрированием и дифференцированием как взаимно обратными операциями в геометрической форме впервые показал Исаак Барроу (J. Barrow, 1630–1677) в своем главном труде “Оптические и геометрические лекции” (1669–1670). Барроу получил формулы, которые используются и сейчас для вычисления длин дуг кривых, заданных в декартовых и полярных координатах.

Общий метод дифференцирования и интегрирования с глубоким пониманием того, что один процесс является обратным по отношению к другому, был создан Ньютоном и Лейбницем независимо друг от друга.

Исаак Ньютон (J. Newton, 1643–1727) изложил свое исчисление в работе “Метод флюксий” в 1670–1671 гг. на несколько лет раньше Лейбница, однако опубликовано оно было лишь после смерти Ньютона в 1736 году. В “Методе флюксий” Ньютон четко сформулировал в математических и механических терминах обе взаимно обратные задачи анализа, разработал и применил метод флюксий к большому количеству геометрических задач (задачи о касательных, кривизне, экстремумах, квадратурах, спрямлении и т.д.). В этой же работе представлены в элементарных функциях ряд интегралов, решены некоторые типы обыкновенных дифференциальных уравнений и некоторые задачи вариационного исчисления.

Колоссальный труд Ньютона “Математические начала натуральной философии” (1687 г.), создававшийся на протяжении более 20 лет, показал все могущество дифференциального и интегрального исчисления в изучении природы и умение Ньютона их применять.

Готфрид Вильгельм Лейбниц (G.W. Leibniz, 1646–1716) используя геометрический подход и развивая идеи Паскаля и Барроу, создает собственное дифференциальное и интегральное исчисления (эти названия принадлежат Лейбницу). В 1684 году он публикует в основанном им самим математическом журнале Acta Eruditorum статью ”Новый метод для максимумов и минимумов, а также для касательных, для которого не являются препятствием дробные и иррациональные количества, и особый вид исчисления для этого”, а в 1686 году — статью “О скрытой геометрии...” с правилами интегрирования и знакомым нам символом интеграла.

Дальнейшее развитие дифференциального и интегрального исчисления связано с именами многих выдающихся ученых: братьев Бернулли — Якоба (J. Bernoulli, 1654–1705) и Иоганна (J. Bernoulli, 1667–1748) и, в первую очередь, Леонарда Эйлера (L. Euler, 1707–1783). Трактаты Эйлера “Дифференциальное исчисление” (1755 г., Берлин) и трехтомное “Интегральное исчисление” (1768–1770 гг., Санкт–Петербург) содержат последовательное изложение дифференциального и интегрального исчисления в известной нам форме, теорию дифференциальных уравнений, теорему Тейлора со многими приложениями, формулу суммирования Эйлера и эйлеровы интегралы (B– и Γ–функции).

Выдающийся вклад в развитие методов интегрального исчисления внесли работы Адриена Мари Лежандра (A.–M. Legendre, 1752–1833) “Упражнения по интегральному исчислению” в трех томах (1811–1819) и “Трактат об эллиптических функциях и эйлеровых интегралах” (1827–1832), исследования Нильса Хенрика Абеля (N.H. Abel, 1802–1829), Карла Густава Якоба Якоби (K.G.J. Jacobi, 1804–1851), Михаила Васильевича Остроградского (1801–1862), Пафнутия Львовича Чебышева (1821–1894), Георга Фридриха Бернгарда Римана (G.F.B. Riemann, 1826–1866), Анри Луи Лебега (H.L. Lebesgue, 1875–1941), Оскара Перрона (O. Perron, р. 1880), Арно Данжуа (A. Danjoy, 1884–1974), Александра Яковлевича Хинчина (1894–1959) и других ученых.

Применение интегралов на практике

Основной задачей дифференциального исчисления является определение для заданной функции   ее производной  или ее дифференциала   . Обратная задача, состоящая в определении функции   по ее известным производной   или дифференциалу  , представляет собой основную задачу интегрального исчисления