Интегральное исчисление

Содержание.

1. История интегрального исчисления.

2. Дифференциальное и интегральное исчисление создано.

3. Определённый интеграл.

4. Неопределённый интеграл.

5. Список литературы.

 

 

 

 

 

 

 

1. История интегрального исчисления.

ИНТЕГРАЛ (от лат. Integer - целый) - одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

Символ введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова  сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится  как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования “восстанавливает”  функцию, дифференцированием которой  получена подынтегральная функция.) Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с  предложением Я. Бернулли. Тогда же , в 1696г., появилось и название новой  ветви математики - интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

Возникновение задач интегрального  исчисления связано с нахождением  площадей и объемов. Ряд задач  такого рода был решен математиками древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся Архимедом (ок. 287 - 212 до н. э.).

Однако Архимед не выделил  общего содержания интеграционных приемов  и понятий об интеграле, а тем  более не создал алгоритма интегрального  исчисления. Ученые Среднего и Ближнего Востока в IX - XV веках изучали и  переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в интегральном исчислении они не получили.

Деятельность европейских  ученых в это время была еще  более скромной. Лишь в XVI и XVII веках  развитие естественных наук поставило  перед математикой Европы ряд  новых задач, в частности задачи на нахождение квадратур (задачи на вычисление площадей фигур), кубатур (задачи на вычисление объемов тел) и определение центров тяжести .

Труды Архимеда, впервые  изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления. Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились  на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции. Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(x) , которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

На такой кажущейся  теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571 - 1630 гг.) в своих  сочинениях “Новая астрономия” (1609 г.) и “Стереометрия винных бочек” (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело резалось на бесконечно тонкие пластинки).

Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598 - 1647 годы) и Э. Торричелли (1608 -1647 годы).

В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры любой кривой y = 
, где N - целое (т. е. вывел формулу 
), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет, фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1603-1677 года), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функции в виде степенных рядов.

Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п.

 

 

 

 

 

2. Дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801 - 1862 гг.), В. Я. Буняковский (1804 - 1889 гг.), П. Л. Чебышев (1821 - 1894 гг.). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке, Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 - 1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с  созданием К. Жорданом (1826 - 1922 гг.) теории меры.

Различные обобщения понятия  интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 гг.) и  А. Данжуа (1884 - 1974) советским математиком  А. Я. Хичиным (1894 -1959 гг.)

 

Интегральное  исчисление. Рис. Интегральное исчисление. Рис.

 

3. Определённый интеграл.

Пусть требуется  вычислить площадь S "криволинейной трапеции" — фигуры ABCD (см. ограниченной дугой непрерывной линии, уравнение которой у = f (x), отрезком AB оси абсцисс и двумя ординатами AD и BC. Для вычисления площади S этой криволинейной трапеции основание AB (отрезок [a, b]) разбивают на n участков (необязательно равных) точками а = x₀ < x₁ < ... < x_n-1 < < x_n = b, обозначая длины этих участков Dx₁, Dx₂, ..., Dx_n; на каждом таком участке строят прямоугольники с высотами f (x₁), f (x₂), ..., f (x_n) где x_k — некоторая точка из отрезка [x_{k - 1}, x_k] (на рис. заштрихован прямоугольник, построенный на k-м участке разбиения; f (x_k) — его высота). Сумма S_n площадей построенных прямоугольников рассматривается в качестве приближения к площади S криволинейной трапеции:

S " S_n = f (x₁) Dx₁ + f (x₂) Dx₂ + f (x_n) Dx_n

или, применяя для сокращения записи символ суммы S (греческая буква "сигма"):

Указанное выражение для площади криволинейной  трапеции тем точнее, чем меньше длины Dx_k участков разбиения. Для нахождения точного значения площади S надо найти предел сумм S_n в предположении, что число точек деления неограниченно увеличивается и наибольшая из длин Dx_k стремится к нулю.

Отвлекаясь  от геометрического содержания рассмотренной  задачи, приходят к понятию определённого  интеграла от функции f (x), непрерывной на отрезке [а, b], как к пределу интегральных сумм S_n при том же предельном переходе. Этот интеграл обозначается

Символ  ò (удлинённое S — первая буква слова Summa) называется знаком интеграла, f (x) — подинтегральной функцией, числа а и b называются нижним и верхним пределами определённого интеграла. Если а = b, то, по определению, полагают

кроме того,

Свойства  определённого интеграла:

(k — постоянная). Очевидно также, что

(численное  значение определённого интеграла  не зависит от выбора обозначения  переменной интегрирования).

К вычислению определённых интегралов сводятся задачи об измерении площадей, ограниченных кривыми (задачи "нахождения квадратур"), длин дуг кривых ("спрямление кривых"), площадей поверхностей тел, объёмов  тел ("нахождение кубатур"), а также  задачи определения координат центров  тяжести, моментов инерции, пути тела по известной скорости движения, работы, производимой силой, и многие другие задачи естествознания и техники. Например, длина дуги плоской кривой, заданной уравнением у = f (x) на отрезке [a, b], выражается интегралом

объём тела, образованного вращением этой дуги вокруг оси Ox,— интегралом

поверхность этого тела — интегралом

Фактическое вычисление определённых интегралов осуществляется различными способами. В отдельных  случаях определённый интеграл можно  найти, непосредственно вычисляя предел соответствующей интегральной суммы. Однако большей частью такой переход  к пределу затруднителен. Некоторые  определённые интегралы удаётся  вычислять с помощью предварительного отыскания неопределённых интегралов (см. ниже). Как правило же, приходится прибегать к приближённому вычислению определённых интегралов, применяя различные квадратурные формулы (например, трапеций формулу, Симпсона формулу). Такое приближённое вычисление может быть осуществлено на ЭВМ с абсолютной погрешностью, не превышающей любого заданного малого положительного числа. В случаях, не требующих большой точности, для приближённого вычисления определённых интегралов применяют графические методы (см. Графические вычисления).

Понятие определённого интеграла распространяется на случай неограниченного промежутка интегрирования, а также на некоторые  классы неограниченных функций. Такие  обобщения называются несобственными интегралами.

Выражения вида

где функция f(x, a) непрерывна по x называются интегралами, зависящими от параметра. Они служат основным средством изучения многих специальных функций (см., например, Гамма-функция).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Неопределённый интеграл.

Нахождение  неопределённых интегралов, или интегрирование, есть операция, обратная дифференцированию. При дифференцировании данной функции  ищется её производная. При интегрировании, наоборот, ищется первообразная (или  примитивная) функция — такая  функция, производная которой равна  данной функции. Таким образом, функция F (x) является первообразной для данной функции f (x), если F'(x) = f (x) или, что то же самое, dF (x) = f (x) dx. Данная функция f (x) может иметь различные первообразные, но все они отличаются друг от друга только постоянными слагаемыми. Поэтому все первообразные для f (x) содержатся в выражении F (x) + С, которое называют неопределённым интегралом от функции f (x) и записывают

Определённый  интеграл как функция верхнего предела  интегрирования

("интеграл  с переменным верхним пределом"), есть одна из первообразных  подинтегральной функции. Это  позволяет установить основную  формулу И. и. (формулу Ньютона  — Лейбница):

выражающую  численное значение определённого  интеграла в виде разности значений какой-либо первообразной подинтегральной  функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Взаимно обратный характер операций интегрирования и дифференцирования выражается равенствами

Отсюда  следует возможность получения  из формул и правил дифференцирования  соответствующих формул и правил интегрирования (см. табл., где C, m, a, k — постоянные и m ¹—1, а > 0).

Таблица основных интегралов и правил интегрирования

¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾

¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾

Трудность И. и. по сравнению с дифференциальным исчислением заключается в том, что интегралы от элементарных функций  не всегда выражаются через элементарные, могут не выражаться, как говорят, "в конечном виде". И. и. располагает  лишь отдельными приёмами интегрирования в конечном виде, область применения каждого из которых ограничена (способы  интегрирования излагаются в учебниках  математического анализа: обширные таблицы интегралов приводятся во многих справочниках).

К классу функций, интегралы от которых всегда выражаются в элементарных функциях, принадлежит множество всех рациональных функций

где P(x) и Q(x) — многочлены. Многие функции, не являющиеся рациональными, также интегрируются в конечном виде, например функции, рационально зависящие от

или же от x и рациональных степеней дроби

В конечном виде интегрируются и многие трансцендентные  функции, например рациональные функции  синуса и косинуса. Функции, которые  изображаются неопределёнными интегралами, не берущимися в конечном виде, представляют собой новые трансцендентные функции. Многие из них хорошо изучены (см., например, Интегральный логарифм, Интегральный синус и интегральный косинус, Интегральная показательная функция).

Понятие интеграла распространяется на функции  многих действительных переменных (см. Кратный интеграл, Криволинейный интеграл, Поверхностный интеграл), а также на функции комплексного переменного (см. Аналитические функции) и вектор-функции (см. Векторное исчисление).