Интегральные уравнения

Область застосування

Інтегральні рівняння широко використовуються в математичній фізиці. Одним із розділів фізики де застосовуються інтегральні рівняння є геометрична оптика, – вивчає закони поширення світла в прозорих середовищах. Вона є науковою основою для побудови різноманітних оптичних приладів: окулярів, об'єктивів, мікроскопів, телескопів.

 

Задача  про розподіл яскравості світла.

Зображення  і об'єкт геометрично подібні, тому схема вимірювання яскравості зображення за допомогою приладу  виглядає так (Рисунок 1). Виберемо масштаби вздовж осей Х і ξ так, щоб для будь-яких двох взаємно відповідних точок та мала місце рівність , де – точка що світиться, а - точка зображення. Це називається калібруванням приладу.

 

 

                                S(s)

 

                                                                                                       X

 

                                                                                             Р

                                                      T(t)

                                                                                                                       ζ

Рисунок 1

 

Точка впливає на освітлення всього зображення, причому найбільша яскравість освітлення в точці. Таким чином, інтенсивність освітлення є функцією від та , тобто .

Нехай − щільність яскравості об’єкта. Тоді величина визначає наближене значення яскравості зображення в точці, який породжується елементом об’єкта , що світиться. В даному прикладі величина визначається властивостями оптичного приладу .

Яскравість  зображення в точці , згідно за принципом суперпозиції, можна наближено надити у вигляді

 

 

 

де  сумовування проводиться по кінцевій довжині об'єкта . Переходячи до межі в цій інтегральної сумі Рімана, отримаємо розподіл яскравості зображення (щільність яскравості):

 

.     (1)

 

В залежності від постановки фізичної задачі із (1) отримаємо різні типи інтегральних рівнянь. Функція є відомою функцією, що визначається властивостями оптичного прилада.

Якщо  щільність яскравості зображення відома, а потрібно знайти розподіл яскравості об’єкта, яке надає задану яскравість зображення, тоді  - задана функція, - шукана. Отже (1) – інтегральне рівняння Фредгольма першого роду.

У випадку, коли зображення таке, що яскравість його пропорційна яскравості об'єкта, то , і (1) перетворюється в однорідне інтегральне рівняння Фредгольма другого роду:

 

,

 

де  - шукана функція. При цьому виникає питання: чи може коефіцієнт пропорційності приймати будь-яке значення, а якщо це не так, то для яких фізична задача має розв’язок.

Якщо  змінити фізичну постановку і  вимагати, щоб різниця яскравості між точкою об’єкта і точкою зображення мала всюди задану величину , то підставляючи в (1) , отримаємо неоднорідне інтегральне рівняння Фредгольма другого роду:

,

де  - шукана функція [1].

 

Перелік посилань

1. Ольховий О. Ф. Зворотні некоректні завдання. Введення в проблематику. Навчальний посібник. / О. Ф. Ольховий − Таганрог: ТТІ ПФУ, 2009. − с.131.