Интеграл Фурье и его приложения

 

.                                                                              (3.4)

 

А тогда последовательность преобразований Фурье  сходится равномерно к преобразованию Фурье , причем члены последовательности непрерывны на .

Покажем, что  .

Из равномерной  сходимости последовательности к имеем, что:

 

  .

Тогда

, .

 

По указанному .

Окончательно  получим:

  . ►

 

 

 

 

          5. Некоторые приложения

 

Задача 1. Найти температуру бесконечного теплопроводящего стержня в любой момент времени , если в начальный момент его температура в любой точке есть .

Имеем задачу Коши

 

                                                                                                   (4.1)

 

Дополнительно полагаем, что:

 

, , ;

 

Решение ищем в классе функций:

, , абсолютно интегрируемы на числовой прямой по при любых фиксированных ,

функция абсолютно непрерывна по на любом отрезке из при любых фиксированных ,

 имеет в любом конечном  отрезке  , , интегрируемую мажоранту и .

           Подействуем оператором Фурье на правую часть уравнения (4.1), используя формулу , то есть

 

(вместо  берем ).

 

Получим:

 

.                                                  (4.2)

 

Интеграл

 

                                                                                            (4.3)

 

сходится равномерно относительно . Тогда производная интеграла по параметру равна интегралу от производной, то есть

 

.                                                                       (4.4)

 

Вывод. С помощью преобразования Фурье дифференциальное уравнение (4.1) в частных производных переведено в обыкновенное дифференциальное уравнение

.                                                                                         (4.5)

 

Для уравнения (4.5) имеем начальные условия:

 

при будет .                       (4.6)

 

Решаем полученную задачу Коши

 

                                                                                                                     (4.7)

 

Решаем уравнение (4.7)

 

, , ,                                           (4.8)

 

(тривиальное  решение (4.8) есть ).

Найдем частное  решение, удовлетворяющее начальным условиям (4.8) , то . Тогда

 

.                                                                                    (4.9)

 

Дальше найдем такую функцию , что

 

.                                                                                 (4.10)

          Равенство (4.9) имеет вид

 

.                                                                  (4.11)

 

Найдем функцию  , преобразование Фурье которой есть .

Используем  формулу обращения преобразования Фурье

 

.

 

Равенство примет вид:

 

.                                                                 (4.12)

 

Применим к обеим частям равенства (4.12) оператор обращения преобразования Фурье (показать, что , также свертка (10.14) из )

Получим:

 

                                                                              (4.13)

 

интеграл Пуассона для решения уравнения теплопроводности стержня.

 

Задача 2. Многие физические приборы - это операторы (преобразователи). На вход приборов подаются сигналы функции , , … - они входят в область определения оператора. На выходе получаем соответственно функции , , …. Например, усилители можно рассматривать как операторы, преобразующие напряжение переменного тока , подаваемого на вход, в напряжение переменного тока, получаемого на выходе. Преобразователь называется линейным, если он удовлетворяет следующим условиям:

если  преобразуется в , то ( - любая действительная константа, ) преобразуется в ;

если  преобразуется в , а - в , то преобразуется в .

Если для  преобразователя выполняются указанные  выше условия, то говорят, что для  преобразователя выполняется принцип  суперпозиции. Дополнительно предполагаем, что функция преобразуется в функцию , то есть, что установившееся гармоническое колебание с частотой преобразуется в установившееся гармоническое колебание с той же частотой . Причем, , где , - главное значение аргумента ( ). называется спектральной характеристикой преобразователя, которая означает, что гармонические колебания с различными частотами прибор преобразует по-разному. Гармоническое колебание преобразуется в гармоническое колебание

 

.                                                                           (4.14)

 

Модуль спектральной характеристики , то есть называется частотной характеристикой преобразователя. Она показывает, во сколько раз изменяется амплитуда гармонического колебания с данной частотой . А называется фазовой характеристикой преобразователя. Она показывает изменение фазы. Имеем прямую задачу.

Дано: 1) физприбор - линейный преобразователь,

- его спектральная характеристика;

- функция на выходе (абсолютно  интегрируемая на числовой прямой  и кусочно-гладкая на любом отрезке числовой прямой).

Найти: - преобразованную функцию на выходе.

Находим преобразование Фурье функции  .

 

.                                                   (4.15)

 

По формуле  обращения преобразования Фурье  находим

 

.                                                                       (4.16)

        Интеграл правой части равенства (4.16) можно рассматривать как «сумму» бесконечно большого числа бесконечно малых гармонических колебаний

 

.                                                                                     (4.17)

           Преобразователем гармонические колебания (4.17) преобразуются в гармонические колебания

 

.                               (4.18)

 

«Сумма» колебаний (4.17) преобразуется в «сумму» колебаний (4.18).             Тогда функция , определяемая соотношением (4.16), преобразуется в функцию , определяемую соотношением

.                                                               (4.19)

 

Задача решена.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

          В данной курсовой работе были рассмотрены такие понятия как, интеграл и преобразование Фурье, а так же применение их на практике. Изучение данной темы раскрыло ряд вопросов связанных с решением сложных уравнений физики, в частности описывающих динамические процессы, которые возникают под воздействием электрической, тепловой или световой энергии. Благодаря отдельным рассмотренным задачам в данной курсовой работе, мы имеем четкое представление о применении интегралов и преобразования Фурье в физике. Следовательно ясна полезность применения их на практике в других научных областях таких как, медицина, астрономия, океанология, оптика, акустика, теория вероятностей, геометрия и многих других.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

          Список использованных источников

 

1. Семенчук Н.П., Сендер Н.Н. Ряды Фурье. Интегралы Фурье. Преобразование Фурье: учебно-методическое пособие. Брест. Гос. Ун-т имени А.С. Пушкина. - Брест: БрГУ, 2011. 42 с.

2. Колмогоров А.Н., С.В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. Москва: Наука, 1981. 544 с.

3.  Винер Н.    Интеграл Фурье и некоторые его приложения. Москва: ГФМЛ 1963. 600с.