Интеграл для вычисления площадей фигуры

1. Понятие интеграл

 

 

Интеграл функции — аналог суммы последовательности бесконечно большого количества бесконечно малых величин на некотором непрерывном участке графика функции, поэтому, неформально, определенный интеграл является площадью между графиком функции и осью абсцисс ординат или аппликат (в зависимости от интегрируемой переменной) в пределах интегрирования, то есть площадью криволинейной трапеции.

Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Согласно основной теореме анализа, интегрирование является операцией, обратной дифференцированию, чем помогает решать дифференциальные уравнения.

Существует несколько различных определений операции интегрирования, отличающихся в технических деталях. Однако все они совместимы, то есть любые два способа интегрирования, если их можно применить к данной функции, дадут один и тот же результат. Наиболее простым является интеграл Римана.

 

 

2. История интеграла

 

 

Интегрирование прослеживается ещё в древнем Египте, примерно в 1800 г. до н. э.[источник не указан 466 дней], Московский математический папирус демонстрирует знание формулы объёма усечённой пирамиды. Первым известным методом для расчёта интегралов является метод исчерпывания Евдокса (примерно 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известны. Этот метод был подхвачен и развит Архимедом, и использовался для расчёта площадей парабол и приближённого расчёта площади круга. Аналогичные методы были разработаны независимо в Китае в 3-м веке н. э. Лю Хуэйем, который использовал их для нахождения площади круга. Этот метод впоследствии использовали Цзу Чунчжи и Цзу Гэн для нахождения объёма шара.

Следующий крупный шаг в исчисление интегралов был сделан в Ираке, в XI веке, математиком Ибн ал-Хайсамом (известным как Alhazen в Европе), в своей работе «Об измерении параболического тела» он приходит к уравнению четвёртой степени.

Решая эту проблему, он проводит вычисления, равносильные вычислению определённого интеграла, чтобы найти объём параболоида. Используя математическую индукцию, он смог обобщить свои результаты для интегралов от многочленов до четвёртой степени. Таким образом, он был близок к поиску общей формулы для интегралов от полиномов, но он не касается любых многочленов выше четвёртой степени.

Следующий значительный прогресс в исчислении интегралов появится лишь в XVI веке. В работах Кавальери с его методом неделимых, а также в работах Ферма, были заложены основы современного интегрального исчисления. Дальнейшие шаги были сделаны в начале XVII века Барроу и Торричелли, которые представили первые намеки на связь между интегрированием и дифференцированием.

 

 

3. Использование интеграла для вычисления площадей фигур.

 

 

Переходим к рассмотрению приложений интегрального исчисления. На этом уроке мы разберем типовую и наиболее распространенную задачу – как с помощью определенного интеграла вычислить площадь плоской фигуры.

Наконец-то ищущие смысл в высшей математике – да найдут его. Мало ли.

Придется вот в жизни приближать дачный участок элементарными функциями и находить его площадь с помощью определенного интеграла.

Для успешного освоения материала, необходимо:

1) Разбираться в неопределенном  интеграле хотя бы на среднем  уровне. Таким образом, чайникам  для начала следует ознакомиться  с уроком Неопределенный интеграл. Примеры решений.

2) Уметь применять формулу  Ньютона-Лейбница и вычислять  определенный интеграл. Наладить  теплые дружеские отношения с  определенными интегралами можно  на странице Определенный интеграл. Примеры решений.

В действительности, для того чтобы находить площадь фигуры не надо так уж много знаний по неопределенному и определенному интегралу. Задание «вычислить площадь с помощью определенного интеграла» всегда предполагает построение чертежа, поэтому гораздо более актуальным вопросом будут ваши знания и навыки построения чертежей.

В этой связи полезно освежить в памяти графики основных элементарных функций, а, как минимум, уметь строить прямую, параболу и гиперболу. Сделать это можно (многим – нужно) с помощью методического материала Графики и свойства элементарных функций и статьи о геометрических преобразованиях графиков.

Собственно, с задачей нахождения площади с помощью определенного интеграла все знакомы еще со школы, и мы мало уйдем вперед от школьной программы. Этой статьи вообще могло бы и не быть, но  дело в том, что задача встречается в 99 случаев из 100, когда студент мучается от ненавистной вышки с увлечением осваивает курс высшей математики.

Материалы данного практикума изложены просто, подробно и с минимумом теории.

Начнем с криволинейной трапеции.

Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью , прямыми ,  и графиком непрерывной на отрезке  функции , которая не меняет знак на этом промежутке. Пусть данная фигура расположена не ниже оси абсцисс:

 

Тогда площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу .

 

У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл. На уроке Определенный интеграл. Примеры решений я говорил, что определенный интеграл – это число. А сейчас пришла пора констатировать еще один полезный факт. С точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ.

То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры. Например, рассмотрим определенный интеграл .

 

 

 Подынтегральная функция 

 

задает на плоскости кривую, располагающуюся выше оси  (желающие могут выполнить чертёж), а сам определенный интеграл

 

численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

Пример 1

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями     

 

Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения – построение чертежа. Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО.

При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций.

 Графики функций выгоднее  строить поточечное, с техникой поточечного построения можно ознакомиться в справочном материале Графики и свойства элементарных функций. Там же можно найти очень полезный применительно к нашему уроку материал – как быстро построить параболу.

В данной задаче решение может выглядеть так.

Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение  задает ось ):

 

Штриховать криволинейную трапецию я не буду, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:

 

На отрезке    график функции   расположен над осью  , поэтому:

 

Ответ: 

У кого возникли трудности с вычислением определенного интеграла и применением формулы Ньютона-Лейбница

, обратитесь к лекции  Определенный интеграл. Примеры  решений.

После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка – в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Внимание! Не следует путать два типа задач:

1) Если Вам предложено  решить просто определенный интеграл  без всякого геометрического  смысла, то он может быть отрицательным.

2) Если Вам предложено  найти площадь фигуры с помощью  определенного интеграла, то площадь  всегда положительна! Именно поэтому  в только что рассмотренной  формуле фигурирует минус.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому, от простейших школьных задачек переходим к более содержательным примерам.

Для поточечного построения необходимо знать внешний вид синусоиды (и вообще полезно знать графики всех элементарных функций), а также некоторые значения синуса, их можно найти в тригонометрической таблице. В ряде случаев (как в этом) допускается построение схематического чертежа, на котором принципиально правильно должны быть отображены графики и пределы интегрирования.

С пределами интегрирования здесь проблем нет, они следуют прямо из условия:

«икс» изменяется от нуля до «пи». Оформляем дальнейшее решение:

 

На отрезке   график функции    расположен над осью   , поэтому:

 

(1) Как интегрируются синусы  и косинусы в нечетных степенях  можно посмотреть на уроке  Интегралы от тригонометрических  функций. Это типовой прием, отщипываем  один синус.

(2) Используем основное  тригонометрическое тождество в  виде 

(3) Проведем замену переменной , тогда:

 

Новые пределы интегрирования:

 

У кого совсем плохи дела с заменами, прошу пройти на урок Метод замены в неопределенном интеграле. Кому не очень понятен алгоритм замены в определенном интеграле, посетите страницу Определенный интеграл. Примеры решений.

 

(4) Здесь мы использовали  свойство определенного интеграла 

 расположив пределы  интегрирования в «привычном»  порядке

Ответ: 

 

 

4. Свойства определенного интеграла

 

 

Если нижняя и верхняя границы функции совпадают, то интеграл равен нулю.

Если в интеграла поменять местами нижнюю и верхнюю границы интегрирования, то значение интеграла изменится на противоположное.

Чтобы вычислить определенный интеграл от функции с постоянным множителем, можно устойчивое множитель вынести за знак интеграла.

Определенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов с теми же границами интегрирования от каждого слагаемого.

Определенный интеграл от заданной функции с границами интегрирования, являются противоположными числами, равна:

1. Если функция нечетная, то нулю;

2. Если функция парная, то удвоенному интегралу от той же функции, но от нуля до заданной верхней границы интегрирования.

Если фигура, площадь которой надо найти, ограничена графиками функций f (x) (ограничивает сверху) и g (x) (ограничивает снизу), то для вычисления площади такой фигуры надо вычислить интеграл от разности этих функций на заданном промежутке.

Если криволинейная трапеция ограничена сверху различными функциями, то площадь криволинейной трапеции равна сумме площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху каждой из этих функций.

Если фигура расположена в отрицательной полуплоскости относительно оси абсцисс, то ее площадь можно найти как модуль определенного соответствующего интеграла.

Для вычисления площадей фигур, ограниченных графиками заданных функций, используем такую схему:

1. Построить фигуру, площадь которой надо найти в координатной плоскости;

2. Найти абсциссы точек пересечения графиков заданных функций.

3. Составить и вычислить интеграл от разницы верхней и нижней функций с границами интегрирования, равным абсциссы точек пересечения графиков функций.

Обратите внимание! Нижней границей интегрирования надо брать левый конец отрезка, на котором определяется криволинейная трапеция.

Объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком непрерывной неотъемлемой функции, равна определенному интегралу квадрата функции, умноженного на константу π.

Работа переменной силы вдоль оси абсцисс на заданном промежутке равна определенному интегралу от функции силы.

Путь проходит тело с переменной скоростью за промежуток времени, равный интегралу от функции скорости.

Масса стержня с переменной плотностью с заданной длиной равна определенному интегралу от функции плотности.