Интеграл и его применение

Реферат

«Интеграл и его применение»

Вступление 

Символ интеграла введен с 1675г., а вопросами интегрального  исчисления занимаются с 1696г. (слайд 6) Хотя интеграл изучают, в основном, ученые-математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку. Практически  ни одна формула физики не обходится  без дифференциального и интегрального  исчислений.

История интегрального исчисления

История понятия интеграла  тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той  или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи на вычисление площадей. Латинское  слово quadratura переводится как “придание квадратной формы”. Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античнoe время еще не были достаточно развиты представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу». (Эта классическая задача “о квадратуре круга” не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.)

Символ интеграла введен Готфридом Вильгельмом фон Лейбницем (1675 г.) (слайд 7)Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summa). Само слово интеграл придумал Якоб Б е рн ул л и (1690 г.)(слайд 9) Вероятно, оно происходит от латинского integro, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки Иоганн Бернулли и Готфрид Лейбниц согласились  с предложением Якоба Бернулли. Тогда  же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики -интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел Иоганн Бернулли.

Другие известные термины, относящиеся к интегральному  исчислению, появились заметно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная  функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Жозеф Луис Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»: F(x) = f(x)dx - начальная (или первоначальная, или первообразная) для f(x), которая получается из F(x) дифференцированием.

В современной литературе множество всех первообразных для  функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил  Готфрид Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции  отличаются на произвольную постоянную.

А интеграл от а до в называют определенным интегралом (обозначение ввел Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Леонард Эйлер).

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в  решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских  фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением  метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольников стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.

С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил  многие задачи. Он дал оценку числа  пи (3.10/71<пи<3.1/7), нашел объемы шара и эллипсоида, площадь сегмента параболы и т. д. Сам Архимед ( слайд 9)высоко ценил эти результаты: согласно его  желанию на могиле Архимеда высечен  шар, вписанный в цилиндр (Архимед  показал, что объем такого шара равен 2/3 объема цилиндра)(рис. на плакате показать)

Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. (Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились  на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в  Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями  Демокрита). Например, криволинейную трапецию (слайд 10) они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(х), которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(х)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

На такой кажущейся  теперь по меньшей мере сомнительной основе Иоганнес Кеплер (1571-1630) в своих сочинениях “Новая астрономия” (1609 г.) и «Стереометрия винных бочек» (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например, площадь фигуры ограниченной эллипсом) и объемов (тело разрезалось на 6ecконечно тонкие пластинки). Эти исследования продолжили итальянские математики Бонавентура Кавальери (1598-1647) и Эвангелиста Торричелли (1608-1647)

Аналогичный принцип действует  в стереометрии и оказывается  полезным при нахождении объемов.

В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному  исчислению. Так, П.Ферма уже в 1629 г. решил задачу квадратуры любой кривой у = х^п, где п - целое (т.е по существу вывел формулу ее первообразной), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. Исаак Барроу (1630-1677), учитель Исаака Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функций в виде степенных рядов.

Однако при всей значимости результатов, полученных многими чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно общий алгоритм. Это сделали Исаак Ньютон (слайд 11) и Готфрид Вильгельм фон Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известным под названием формулы Ньютона – Лейбница ( слайд 12) Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.