Использование векторов для доказательства теорем и решения задач

 

  По условию  SKLC=2, тогда SKLМ=4

                                                                                                                       Ответ:  SKLМ=4

 

3  основное соотношение. Пусть точки А, В, С и О – произвольные точки плоскости. Точка С тогда и только тогда принадлежит прямой АВ,  
когда  существует число  такое, что

 

Дано:

А, В, С и О – произвольные точки

                                             , где  - некоторое число 

Доказать:  

 

                                                                      Доказательство.

                                                  , раскроем скобки, получим                                                ,отсюда  

                                                                 

По определению разности векторов                                  ,                               ,тогда                           

Так как                      , то векторы         и           коллинеарны, а это возможно тогда и только

тогда, когда векторы        и          параллельны одной и той же прямой, то есть когда точка

лежит на прямой АВ.                     

                                                                                                                          

                                                                                                                Соотношение доказано.

 

 

 

 

Задача 3.  
На стороне ON параллелограмма AMNO и на его диагонали OM взяты такие точки B и C, что OB=   ON, OC=             OM. Доказать, что А,В и С лежат на одной прямой. 

 

Дано:

AMNO –параллелограмм,

OB=    ON , OC=          OM

Доказать:

А,В и С       a

 

                                                           Доказательство.

Пусть

OB=   ON и                        ,тогда                     

OC=           OM и                             ,тогда

 

 

 

 

 

                                                                 ,упрощаем , получаем 

 

 

 

 

 следовательно,            и                     коллинеарны, значит,  прямые AC и AB  параллельны или совпадают, но так как  АС и АВ имеют общую точку А, то АВ и АС не могут быть параллельными, тогда   АВ  и  АС совпадают, а это значит, точки А, В и С лежат на одной прямой.

4  основное соотношение.  Если М – точка пересечения медиан треугольника АВС и О – произвольная точка плоскости, то выполняется  
  равенство:

 

Дано:

∆АВС

точка О

М – точка пересечения медиан

   Доказать:

Доказательство.

Так как М – точка пересечения медиан, то     АМ = 2МА1   (АА1 – медиана), то есть

 По 2 основному соотношению получим, что

По 1 основному соотношению получим, что

Получаем,

 

 

 

                                                                                                                       Соотношение доказано .   

 

Задача .  
Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположенных сторон произвольного четырехугольника, точкой пересечения делятся пополам. 

 

Дано:

ABCD - четырехугольник

M,N, K, E-середины сторон  AВ,ВС,CD и DA.

Доказать:

MK  NE = О

О – середина MK и NE

 Доказательство.

Рассмотрим 

Точка М – середина АВ, тогда АВ= МВ и                             ,следовательно ,

Точка K – середина CD, тогда CK=KC и                          , следовательно,

Точка N – середина BC, тогда BN= NC и                         ,следовательно,

Точка E – середина AD, тогда AE= ED и                          ,следовательно,

                                                                                      ,

 

                          и                            ,значит,                       ,следовательно, MN=EK. MN=EK, т.е. MN|| EK  и  MN = EK,значит MNKЕ-параллелограмм по признаку.

 

Спасибо за внимание!

 

 

1

 

2

 

3