Исследование структуры групп Галуа

Федеральное агентство  по образованию

БАЛТИЙСКИЙ  ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени И. Канта 

Кафедра компьютерной безопасности и прикладной алгебры 
 
 
 

                                                                                    Утверждаю

Зав. кафедрой, к.т.н., доцент

___________________С.И.  Алешников

“_____” __________________ 2011 г. 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

НА  ТЕМУ: ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРЫ ГРУПП ГАЛУА НОРМАЛЬНОГО ПОЛЯ. 
 

             
 
 
 
 
 

                Студент

               КБ, 2 курс                               (подпись)                             Э.В.Каминский

 

                           

          

          

            Руководитель                          (подпись)                             Ю.С.Касаткина

   
 
 
 
 
 
 
 
 

Калининград, 2011

СОДЕРЖАНИЕ

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

ВВЕДЕНИЕ 

     Классическая  теория Галуа – это одна из вершин математики ХIХ века, позволившая решить ряд фундаментальных проблем, включая проблему о разрешимости в радикалах алгебраических уравнений. Эта теория заложила основы современной алгебры, сформировав такие важнейшие понятия как группа, поле, алгебра, кольцо. В ХХ работами классиков Э. Нётер, А. Картана, Ж. Дьедонне, Н. Джекобсона, Г. Хохшильда и др. теория Галуа была распространена на некоммутативные числовые системы (кольца и алгебры). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

     ИССЛЕДОВАНИЕ  СТРУКТУРЫ ГРУПП  ГАЛУА НОРМАЛЬНОГО  ПОЛЯ 

     Пусть - поле и - группа автоморфизмов поля . Мы будем обозначать через подмножество в , состоящее из всех элементов , таких, что для всех . Это подмножество называется неподвижным полем группы . Это действительно поле, поскольку из следует 

     для всех и аналогичным образом проверяется, что замкнуто относительно умножения, вычитания и деления. Кроме того, содержит и и, следовательно, содержит простое поле.

     Алгебраическое  расширение поля называется расширением Галуа, если оно нормально и сепарабельно. Мы будем считать вложенным в некоторое алгебраическое замыкание. Группа автоморфизмов поля над называется группой Галуа поля над и обозначается символом или просто . Она совпадает с множеством вложений поля в над .

     Cформулируем основной результат теории Галуа для конечных расширений Галуа.

     Пусть - конечное расширение Галуа поля с группой Галуа . Тогда между множеством подполей в , содержащих , и множеством подгрупп в существует биективное соответствие, задаваемое формулой . Поле будет расширением Галуа над тогда и только тогда, когда подгруппа нормальна в , и в этом случае отображение индуцирует изоморфизм факторгруппы на группу Галуа поля над .

     Теорема 1. Пусть - расширение Галуа поля , - его группа Галуа. Тогда . Если - промежуточное поле, , то - расширение Галуа над . Отображение 

     множества промежуточных полей в множество подгрупп группы инъективно.

     Доказательство. Пусть и - произвольное вложение поля в , индуцирующее тождественное отображение на . Продолжим до вложения в ; мы будем обозначать это продолжение по-прежнему через . Тогда - автоморфизм поля над , следовательно, элемент группы . По предположению оставляет неподвижным. Поэтому

     .

     Так как сепарабелен над , то имеем и есть элемент . Это доказывает наше первоe утверждение.

     Пусть - промежуточное поле. Тогда нормально над и сепарабельно над . Следовательно, - расширение Галуа над . Если , то в силу доказанного выше заключаем, что Если , - промежуточные поля и , , то и .

     Если , то , откуда вытекает, что отображение 

     инъективно, что и доказывает нашу теорему.

     Мы  будем называть группу над промежуточным полем группой, ассоциированной с . Мы будем говорить также, что подгруппа в принадлежит промежуточному полю , если .

     Следствие 1. Пусть - расширение Галуа с группой . Пусть , - два промежуточных поля и - подгруппы в , принадлежащие , соответственно. Тогда принадлежит полю .

     Доказательство. Всякий элемент из оставляет неподвижным, и всякий элемент из , оставляющий неподвижным, оставляет неподвижным также и и, следовательно, лежит в . Это доказывает наше утверждение.

     Следствие 2. (Обозначения те же, что и в следствии 1.) Неподвижное поле наименьшей подгруппы в , содержащей , , есть .

     Следствие 3. Пусть обозначения те же, что и в следствии 1. Тогда в том и только в том случае, если .

     Доказательство. Если и оставляет неподвижным, то оставляет неподвижным и , так что лежит в . Обратно, если , то неподвижное поле группы содержится в неподвижном поле группы , так что .

     Следствие 4. Пусть - конечное сепарабельное расширение поля и - наименьшее нормальное расширение поля , содержащее . Тогда - конечное расширение Галуа над . Существует лишь конечное число промежуточных полей , таких, что .

     Доказательство. Мы знаем, что нормально и сепарабельно. Далее, конечно над , поскольку это, как мы видели, конечный композит конечного числа сопряженных с полей. Группа Галуа расширения имеет лишь конечное число подгрупп. Следовательно, существует лишь конечное число подполей в , содержащих , и тем более лишь конечное число подполей в , содержащих .

     Лемма 1. Пусть - алгебраическое сепарабельное расширение поля . Предположим, что существует целое число такое, что всякий элемент из имеет степень над . Тогда конечно над и .

     Доказательство. Пусть - элемент из , для которого степень максимальна, скажем равна . Мы утверждаем, что . Если это не так, то существует элемент такой, что  не принадлежит и в силу теоремы о примитивном элементе найдется элемент , для которого . Но из башни 

     мы  видим, что , откуда вытекает, что имеет степень над k,- противоречие.

     Теорема 2 (Артин). Пусть - поле и - конечная группа автоморфизмов поля , имеющая порядок . Пусть - соответствующее неподвижное поле. Тогда - конечное расширение Галуа над и его группа Галуа есть . Кроме того .

     Доказательство. Пусть , и пусть …, – такое максимальное множество элементов из , что различны. Для всякого наборы и отличаются лишь перестановкой, поскольку инъективно и каждый элемент содержится в множестве , иначе это множество не было бы максимальным. Следовательно, - корень многочлена 

     и для любого имеем . Таким образом, коэффициенты многочлена лежат в . Кроме того, сепарабелен. Следовательно, всякий элемент из есть корень сепарабельного многочлена степени с коэффициентами в . Далее, этот многочлен разлагается на линейные множители в . Таким образом, сепарабельно над , нормально над и является поэтому расширением Галуа над . В силу леммы 1 имеем . Группа Галуа поля над имеет порядок , и, следовательно, группа должна быть полной группой Галуа. Этим доказаны все наши утверждения.

     Следствие. Пусть - конечное расширение Галуа поля и - его группа Галуа. Тогда всякая подгруппа в принадлежит некоторому подполю , такому, что .

     Доказательство. Пусть - подгруппа в и . В силу теоремы Артина, - расширение Галуа над с группой .

     Замечание. Для бесконечных расширений Галуа поля предыдущее следствие уже перестает быть справедливым. Это показывает, что использование того или иного вычислительного соображения действительно необходимо в доказательстве для конечного случая. Понятия расширения Галуа и группы Галуа определяются чисто, алгебраически. Следовательно, их формальное поведение при изоморфизмах точно такое же, какого можно ожидать от объектов в любой категории. Мы опишем это поведение для рассматриваемого случая в более ясном виде.