Автор работы: Пользователь скрыл имя, 05 Февраля 2014 в 04:56, практическая работа
Дифференциальное исчисление широко используется при исследовании функций. С помощью производной можно найти промежутки монотонности функции, ее экстремальные точки, наибольшие и наименьшие значения.
Дифференциальное
исчисление широко
Возрастание и убывание функций.
Как известно функция, заданная на множестве , называется возрастающей на этом множестве, если для любых , таких, что , имеем :
Если
то функция называется неубывающей на множестве .
Аналогично определяются понятия убывающей и невозрастающей функций.
Теорема 3. Если функция непрерывна на отрезке , а ее производная положительна на интервале , то возрастает на .
Доказательство. Рассмотрим две любые точки , такие, что . Так как для функции на отрезке выполняется условие теоремы Лагранжа, то
где точка лежит между и .
Поскольку оба множителя правой части равенства (18) положительны ( по условию, в силу выбора точек), то
а значит, и
Итак, и, следовательно, функция возрастает на , что и требовалось доказать. [2, c. 99]
Теорема 4. Если функция непрерывна на отрезке , а ее производная отрицательна на интервале , то убывает на .
Доказательство этой теоремы аналогично.
Пример 6. Докажем, что функция убывает на всей числовой прямой.
Решение. Имеем
Так как при любом выполняется неравенство и, кроме того, равенство выполняется только в одной точке , то на всей числовой прямой , причем в одной точке. Значит, функция убывает на всей числовой прямой.
Экстремумы функции.
Определение 7. Пусть функция , заданная на множестве , определена в некоторой окрестности точки и непрерывна в этой точке. Если существует такая окрестность точки , что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство
то называется точкой максимума (минимума) функции .
Точки максимума называют точками экстремума. [2, c. 85]
Определение 8. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называют критическими (иногда точки, где производная равна нулю, называют стационарными). [2, c. 86]
Теорема 5. пусть функция определена в точке и пусть существует , такое, что функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервалах , причем производная данной функции сохраняет знак на каждом из этих интервалов.
Если на знаки производной различны, то - точка экстремума, а если совпадают, то не является точкой экстремума. При этом если при переходе через точку производная меняет знак с «+» на «-», то точка - точка максимума, если же производная меняет знак с «-» на «+», то - точка минимума.
Доказательство. Пусть производная положительна на интервале и отрицательна на . Докажем, что - точка максимума функции.
По условию функция непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале и на этом интервале имеем . Значит по теореме 1 функция возрастает на отрезке . Поэтому из неравенства , где , следует . Аналогично устанавливаем, что функция убывает на отрезке , а поэтому из неравенства , где , следует .
Таким образом, в - окрестности точки для точек , отличных от , выполняется неравенство
Это означает, что - точка максимума функции .
Рассмотрим случай, когда производная не меняет знака при переходе через точку ; пусть она отрицательна как слева, так и справа от . Тогда функция убывает как на отрезке , так и на отрезке . В таком случае не является точкой экстремума.
Остальные два случая рассматриваются аналогично. Теорема доказана. [2, c. 101]
Таким образом, чтобы исследовать функцию на экстремум, нужно: 1) найти ее производную; 2) найти критические точки; 3) рассмотреть окрестность каждой из критических точек, не содержащую других критических точек, и исследовать знак производной слева и справа от рассматриваемой точки; 4) опираясь на данную теорему сделать выводы.
Пример 7. Исследуем на экстремум функцию .
Решение. Имеем
Приравняв производную к нулю, находим . При переходе через точку производная меняет знак с «+» на «-», значит, в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку производная меняет знак с «-» на «+», значит, в этой точке функция имеет минимум. Имеем .