История тригонометрии

Торгово-Экономический колледж

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                 Реферат по дисциплине математика

 

На тему:  «История тригонометрии»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент группы

БУ-12-1 Семёнова София

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Иркутск 2012

Содержание.

 

Введение

Заключение

Список литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Слово «тригонометрия» греческого происхождения. В переводе на русский язык оно означает «измерение треугольников» (от греческого - τρίγονο (треугольник), и греческого μετρειν (измерять)). Это раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии.

 

 Как и все другие разделы  математики, зародившиеся в глубокой  древности, тригонометрия возникла  в результате попыток решить  те задачи, с которыми человеку приходилось сталкиваться на практике. Среди таких задач следует, прежде всего, назвать задачи землемерия и астрономии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (Bartholomäus Pitiscus, 1561—1613)

 

  В том, что тригонометрия относится к древним наукам, нас убеждает хотя бы такой факт: для предсказания момента наступления солнечного или лунного затмения необходимо произвести расчеты, требующие привлечения тригонометрии.   Весьма   точно   предсказывали   затмения   еще   древне-вавилонские   ученые. По-видимому, они уже владели элементарными тригонометрическими понятиями.

 

 

 

 

 

Ранний период

 

  Зачатки тригонометрии можно  найти в математических рукописях  древнего Египта, Вавилона и древнего  Китая. 56-я задача из папируса Ринда (II тысячелетие до н. э.) предлагает найти наклон пирамиды, высота которой равна 250 локтей, а длина стороны основания — 360 локтей.

 

  От вавилонской математики ведёт начало привычное нам измерение углов градусами, минутами и секундами (введение этих единиц в древнегреческую математику обычно приписывают Гипсиклу, II век до н. э.). Среди известных вавилонянам теорем была, например, такая: вписанный угол, опирающийся на диаметр круга — прямой. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э. Вполне возможно, что китайцы открыли его независимо (см. «Математика в девяти книгах»); неясно, знали ли общую формулировку теоремы древние египтяне, но прямоугольный «египетский треугольник» со сторонами 3, 4 и 5 был там хорошо известен и широко использовался.

 

Древняя Греция

 

  Общее и логически связное  изложение тригонометрических соотношений  появилось в древнегреческой геометрии. Греческие математики ещё не выделяли тригонометрию как отдельную науку, для них она была частью астрономии.

 

Плоская тригонометрия

 

  Несколько теорем тригонометрического характера содержат «Начала» Евклида (IV век до н. э.). Теорема 32 (I книга «Начал») доказывает, что сумма углов треугольника равна 180°. Теорема 12 (во II-й книге) представляет собой словесный аналог теоремы косинусов:

В тупоугольных треугольниках  квадрат на стороне, стягивающей  тупой угол, больше [суммы] квадратов  на сторонах, содержащих тупой угол, на дважды взятый прямоугольник, заключённый между одной из сторон при тупом угле, на которую падает перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром снаружи отрезком при тупом угле.

  Следующая за ней теорема 13 — вариант теоремы косинусов для остроугольных треугольников. Аналога теоремы синусов у греков не было, это важнейшее открытие было сделано гораздо позднее.

 

  Дальнейшее развитие тригонометрии связано с именем астронома Аристарха Самосского (III век до н. э.). В его трактате «О величинах и расстояниях Солнца и Луны» ставилась задача об определении расстояний до небесных тел; эта задача требовала вычисления отношения сторон прямоугольного треугольника при известном значении одного из углов. Аристарх рассматривал прямоугольный треугольник, образованный Солнцем, Луной и Землёй во время квадратуры. Ему требовалось вычислить величину гипотенузы (расстояние от Земли до Солнца) через катет (расстояние от Земли до Луны) при известном значении прилежащего угла (87°), что эквивалентно вычислению значения.  По оценке Аристарха, эта величина лежит в промежутке от 1/20 до 1/18. Попутно он доказал неравенство, которое в современных терминах передаётся формулой:

 

Это же неравенство содержится в  «Исчислении песчинок» Архимеда. В трудах Архимеда (III век до н. э.) имеется важная теорема деления хорд, по существу эквивалентная формуле синуса половинного угла.

 

Однако главным полем для  приложения результатов плоской  тригонометрии у греков оставалась астрономия. Помимо задачи о вычислении расстояний, привлечения тригонометрии требовало определение параметров системы эпициклов и/или эксцентров, представляющих движение светила в пространстве. Согласно широко распространённому мнению, эта проблема впервые была сформулирована и решена Гиппархом (середина II века до н. э.) при определении элементов орбит Солнца и Луны; возможно, аналогичными задачами занимались и астрономы более раннего времени. Ему же часто приписывают авторство первых тригонометрических таблиц, не дошедших до нас. Впрочем, согласно некоторым реконструкциям, первые тригонометрические таблицы были составлены ещё в III веке до н. э., возможно, Аполлонием Пергским.

 

Позднее астроном II века Клавдий Птолемей в «Альмагесте» дополнил результаты Гиппарха. Тринадцать книг «Альмагеста» — самая значимая тригонометрическая работа всей античности. В частности, «Альмагест» содержит обширные пятизначные таблицы хорд для острых и тупых углов, с шагом 30 угловых минут. Для вычислении хорд Птолемей использовал (в главе X) теорему Птолемея (известную, впрочем, ещё Архимеду), которая утверждает: сумма произведений длин противоположных сторон выпуклого вписанного в круг четырёхугольника равна произведению длин его диагоналей. Из этой теоремы нетрудно вывести две формулы для синуса и косинуса суммы углов и ещё две для синуса и косинуса разности углов, однако общая формулировка этих теорем у греков отсутствует.

 

Сферическая тригонометрия

 

Сферический треугольник

 

Параллельно с развитием тригонометрии  плоскости греки, под влиянием астрономии, далеко продвинули сферическую тригонометрию. В «Началах» Евклида на эту тему имеется только теорема об отношении объёмов шаров разного диаметра, но потребности астрономии и картографии вызвали быстрое развитие сферической тригонометрии и смежных с ней областей — системы небесных координат, теории картографических проекций, технологии угломерных приборов.

 

Менелай Александрийский (около 100 года н. э.) написал монографию «Сферика»  в трёх книгах. В первой книге  он изложил теорию сферических треугольников, аналогичную теории Евклида о плоских треугольниках (см. I книгу «Начал»). Менелай доказал теорему, для которой у Евклида нет плоского аналога: два сферических треугольника конгруэнтны (совместимы), если соответствующие углы равны. Другая его теорема утверждает, что сумма углов сферического треугольника всегда больше 180°. Вторая книга «Сферики» излагает применение сферической геометрии к астрономии. Третья книга содержит важную для практической астрономии теорему Менелая, известную как «правило шести величин».

 

Несколько десятилетий спустя Клавдий Птолемей в своих трудах «География» и «Аналемма» даёт подробное изложение тригонометрических приложений к картографии, астрономии и механике. Среди прочего, описана стереографическая проекция, исследованы несколько практических задач, например: определить высоту и азимут небесного светила по его склонению и часовому углу. С точки зрения тригонометрии, это значит, что надо найти сторону сферического треугольника по другим двум сторонам и противолежащему углу.

 

Средневековье

 

Индия

 

Индийские математики провели замену античных хорд на синусы (название «синус» восходит к слову «тетива» на санскрите) в прямоугольном треугольнике. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как общему учению о соотношениях в треугольнике, хотя, в отличие от греческих хорд, индийский подход ограничивался только функциями острого угла.

 

Индийцы первыми ввели в использование косинус. Использовался ещё так называемый обращённый синус, или синус-верзус, равный длине отрезка DC на рисунке. Другие тригонометрические величины — тангенс, котангенс, секанс и косеканс — в индийских сочинениях не встречаются (по крайней мере, в явном виде).

 

 

Важный вклад в развитие тригонометрии  внес Брахмагупта (VII в.), открывший несколько  тригонометрических соотношений, в том числе и те, которые в современной записи приняли вид:

 

 

В трудах другого выдающегося ученого, Бхаскары II (XII век), приводятся формулы  для синуса и косинуса суммы и  разности углов:

 Опираясь на формулу синуса  суммы, Бхаскара опубликовал более точные и подробные, чем у Ариабхаты, тригонометрические таблицы с шагом 1°.

 

Исламские страны

 

 В VIII веке учёные стран  Ближнего и Среднего Востока  познакомились с трудами древнегреческих  и индийских математиков и  астрономов, перевели их на арабский язык и стали активно развивать. Как и индийцы, они понимали под синусом полухорду (а не всю хорду, как у Птолемея).

 

Самые ранние из сохранившихся трудов принадлежат ал-Хорезми и ал-Марвази (IX век), которые рассмотрели, наряду с известными ещё индийцам синусом и косинусом, новые тригонометрические функции: тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Изначально эти функции определялись иначе, чем в современной математике. Так, под котангенсом понималась длина тени от вертикального гномона высотой 12 (иногда 7) единиц. Тангенсом называлась тень от горизонтального гномона. Косекансом и секансом назывались гипотенузы соответствующих прямоугольных треугольников (отрезки AO на рисунке). Лишь в X веке философ и математик ал-Фараби ввел независимые от гномоники определения этих четырёх функций, определив их через синус и косинус в круге некоторого радиуса. Основные соотношения между всеми шестью функциями привёл ал-Баттани в том же столетии. Окончательной унификации добился Абу-л-Вафа во второй половине X века, который впервые использовал для определения тригонометрических функций круг единичного радиуса, как это делается в современной математике.

 

 

Одной из важнейших задач науки  того времени являлось составление  тригонометрических таблиц с как  можно меньшим шагом. В IX веке ал-Хорезми составил таблицы синусов и косинусов с шагом 1°, ал-Марвази добавил к ним первые таблицы тангенсов, котангенсов и косекансов. Оба они уже использовали индийские десятичные цифры. В начале X века ал-Баттани опубликовал таблицы с шагом 30', но уже в конце того же столетия Ибн Юнис составил таблицы с шагом 1'. При составлении таблиц ключевым было вычисление значения . Искусные методы для вычисления этой величины изобрели Ибн Юнис, Абу-л-Вафа, ал-Бируни. Наибольшего успеха добился в XV веке ал-Каши; в одной из своих работ он подсчитал, что (все знаки верны). В составленных при его участии «Астрономических таблицах» Самаркандской обсерватории Улугбека таблицы синусов вычислены с шестью шестидесятеричными знаками, с шагом 1'. Султан Улугбек лично участвовал в этой работе: он написал специальный трактат о вычислении синуса угла в 1°. Ал-Каши вошёл в историю науки также как один из первых авторов радианной меры углов; в ряде своих работ он использовал в качестве угловой меры «части диаметра», равные 1/60 радиана. Но в те годы это нововведение не получило распространения.

 

Предметом особого внимания ученых стран ислама была сферическая тригонометрия, методы которой использовались для  решения задач не только астрономии, но и геодезии, в том числе:

 

-Вычисление расстояния между городами с известными географическими координатами.

-Определение направления на Мекку (кибла) из заданного места.

 

Фундаментальное изложение тригонометрии как  самостоятельной науки (как плоской, так и сферической) дал персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси в 1260 году. Его «Трактат о полном четырёхстороннике» содержит практические способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решенных самим ат-Туси — например, построение сторон сферического треугольника по заданным трём углам. Приведена теорема тангенсов для сферических треугольников. Сочинение ат-Туси стало широко известно в Европе и существенно повлияло на развитие тригонометрии.

 

Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые  теоремы, составляющие содержание тригонометрии:

 

-Выражение любой тригонометрической функции через любую другую.

-Формулы для синусов и косинусов кратных и половинных углов, а также для суммы и разности углов.

-Теоремы синусов и косинусов.

-Решение плоских и сферических треугольников

-Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму.

 

Поясним, что формулы преобразования позволяли заменить трудоёмкое умножение  на более простое сложение или  вычитание. Впоследствии в Европе эти  же формулы использовали для противоположной  цели — замены сложения и вычитания  на умножение, чтобы затем для  вычисления результата применить логарифмические таблицы.

 

Из-за отсутствия алгебраической символики  все перечисленные теоремы выражались в громоздкой словесной форме, но по существу были полностью эквивалентны современному их пониманию.

 

Европа

 

После того как арабские трактаты были переведены на латынь, многие идеи индийских и персидских математиков стали достоянием европейской науки. По всей видимости, первое знакомство европейцев с тригонометрией состоялось благодаря зиджу ал-Хорезми, два перевода которого были выполнены в XII веке. Первоначально сведения о тригонометрии (правила её использования, таблицы некоторых тригонометрических функций) приводились в сочинениях по астрономии, однако в сочинении Фибоначчи «Практика геометрии», написанном около 1220 года, тригонометрия излагается как часть геометрии. Первым европейским сочинением, целиком посвященным тригонометрии, часто называют «Четыре трактата о прямых и обращенных хордах» английского астронома Ричарда Уоллингфордского (около 1320 г.). Книга содержит доказательство ряда тригонометрических тождеств и оригинальный метод вычисления синусов. Примерно в те же годы был написан трактат еврейского математика Леви бен Гершома (Герсонида) «О синусах, хордах и дугах», переведенный на латинский язык в 1342 году. Книга содержит доказательство теоремы синусов и пятизначные таблицы синусов. Тригонометрия затрагивается в «Теоретической геометрии» английского математика Томаса Брадвардина (написана в первой половине XIV в., опубликована в 1495 году). Тригонометрические таблицы, чаще переводные с арабского, но иногда и оригинальные, содержатся в сочинениях ряда других авторов XIV—XV веков. Тогда же тригонометрия заняла место среди университетских курсов.