История тригонометрии

 

Крупным достижением стала монография Региомонтана «Пять книг о треугольниках всех видов» (опубл. 1462—1464), в которой были сведены все известные к этому моменту знания по плоской и сферической тригонометрии и приложены семизначные таблицы синусов (с шагом 1') и тангенсов (с шагом 1°). Немаловажно и то, что в таблицах Региомонтана, в нарушение астрономической традиции, впервые использовалась десятичная система (а не архаичная шестидесятеричная). Радиус базового круга Региомонтан принял равным , табличные значения тогда представлены целыми числами (десятичные дроби вошли в обиход несколько позднее, причём мощным стимулом к их применению стали именно тригонометрические вычисления).

 

Новое время

 

Развитие тригонометрии в Новое  время стало чрезвычайно важным не только для астрономии и астрологии, но и для других приложений, в  первую очередь артиллерии, оптики и навигации при дальних морских путешествиях. Поэтому после XVI века этой темой занимались многие выдающиеся учёные, в том числе Николай Коперник, Иоганн Кеплер, Франсуа Виет. Коперник посвятил тригонометрии две главы в своём трактате «О вращении небесных сфер» (1543). Вскоре (1551) появились 15-значные тригонометрические таблицы Ретика, ученика Коперника, с шагом 10". Кеплер опубликовал труд «Оптическая часть астрономии» (1604). Потребность в сложных тригонометрических расчётах вызвала в начале XVII века открытие логарифмов (первые логарифмические таблицы содержали только логарифмы тригонометрических функций).

 

Термин «тригонометрия» как  название математической дисциплины ввёл в употребление немецкий математик  Б. Питискус, опубликовавший в 1595 году книгу «Тригонометрия, или краткий и ясный трактат о решении треугольников». К концу XVII века появились современные названия тригонометрических функций. Термин «синус» впервые употребил около 1145 года английский математик и арабист Роберт Честерский. Региомонтан в своей книге назвал косинус «синусом дополнения» (лат. sinus complementi), поскольку; его последователи в XVII веке сократили это обозначение до co-sinus (Эдмунд Гунтер), а позднее — до cos (Уильям Отред). Названия тангенса и секанса предложил в 1583 году датский математик Томас Финке (Thomas Fincke), а упомянутый выше Эдмунд Гунтер ввёл названия котангенса и косеканса. Термин «тригонометрические функции» впервые употребил в своей «Аналитической тригонометрии» (1770) Георг Симон Клюгель.

 

Виет в первой части своего «Математического канона» (1579) поместил разнообразные  таблицы, в том числе тригонометрические, а во второй части дал обстоятельное  и систематическое, хотя и без  доказательств, изложение плоской  и сферической тригонометрии. В 1593 году Виет подготовил расширенное издание этого капитального труда. «Несомненно, что самый интерес его к алгебре первоначально был вызван возможностью приложений к тригонометрии и астрономии». Другой важной заслугой Виета стало применение в тригонометрии разработанной им общей алгебраической символики; если ранее решение задачи понималось как геометрическое построение, то начиная с работ Виета приоритет начинает переходить к алгебраическим вычислениям. Появление символики позволило записать в компактном и общем виде тригонометрические тождества.

 

Кроме артиллерии и навигации, тригонометрия  быстро развивалась и в таких  классических областях её применения, как геодезия. Широкое применение тангенсов объяснялось, в частности, простотой измерения с их помощью высоты горы или здания.

 

В 1615 году Снеллиус нашёл решение  «задачи Снеллиуса-Потно́»: найти  точку, из которой стороны данного (плоского) треугольника видны под  заданными углами. Он открыл закон  преломления света: для заданных исходной и преломляющей среды отношение синусов угла падения и угла преломления постоянно. Тем самым Снеллиус открыл дорогу новым применениям тригонометрических функций в оптике, а изобретение в эти же годы первых телескопов придало этому открытию особую важность.

 

В 1630-х годах Жиль Роберваль, в ходе своих исследований циклоиды, вычертил первый график синусоиды. Он же опубликовал формулу тангенса двойного угла. Джон Валлис в своей «Механике» (1670), опередив своё время, правильно указал знаки синуса во всех квадрантах и указал, что у синусоиды бесконечно много «оборотов». График тангенса для первого квадранта впервые начертил Джеймс Грегори (1668).

 

Во второй половине XVII века началось стремительное развитие общей теории квадратур (то есть вычисления площади), завершившееся появлением в конце века математического анализа. Для тригонометрических функций важные результаты в начале этого периода получил Блез Паскаль (опубликованы в его книге «Письма А. Деттонвилля о некоторых его геометрических открытиях», 1659 год). В современной терминологии, Паскаль вычислил интегралы от натуральных степеней синуса и косинуса и некоторые связанные с ними, а также отметил, что. Работы в области тригонометрии проводили такие крупные математики XVII века, как Отред, Гюйгенс, Озанам, Валлис. Заметным процессом во второй половине XVII века стала постепенная алгебраизация тригонометрии, совершенствование и упрощение её символики (хотя до Эйлера символика была всё же гораздо более громоздка, чем современная).

 

XVIII век

 

После открытия математического анализа сначала Джеймс Грегори, а затем Исаак Ньютон получили разложение тригонометрических функций (а также обратных к ним) в бесконечные ряды. Ньютон посвятил проблемам геометрии и тригонометрии 10 задач в своей книге «Универсальная арифметика». Например, в задаче X требуется «решить треугольник», если известны одна его сторона, противолежащий угол и сумма двух других сторон. Предложенный Ньютоном метод решения представляет собой одну из формул Мольвейде.

 

Лейбниц строго доказал, что  не может быть, вообще говоря, алгебраически выражен через , то есть, в современной терминологии, тригонометрические функции трансцендентны.

 

Важными открытиями в начале XVIII века стали:

 

-Открытие и широкое распространение радианной меры углов (Роджер Котс, 1714). Сам термин «радиан» появился позднее, его в 1873 году предложил английский инженер Джеймс Томсон.

-Тригонометрическое представление комплексного числа и формула Муавра:

 

 

Манера обозначать обратные тригонометрические функции с помощью приставки arc (от лат. arcus, дуга) появилась у австрийского математика Карла Шерфера (Karl Scherffer, 1716—1783) и закрепилась благодаря Лагранжу. Имелось в виду, что, например, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения, но они не прижились.

 

 

Реформы Леонарда Эйлера

 

Современный вид тригонометрии  придал Леонард Эйлер. В трактате «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал определение тригонометрических функций, эквивалентное современному, и соответственно определил обратные функции. Если его предшественники понимали синус и прочие понятия геометрически, то есть как линии в круге или треугольнике, то после работ Эйлера , ,   и т. д. стали рассматриваться как безразмерные аналитические функции действительного и комплексного переменного. Для комплексного случая он установил связь тригонометрических функций с показательной функцией (формула Эйлера). Подход Эйлера с этих пор стал общепризнанным и вошёл в учебники.

 

Эйлер рассматривал как допустимые отрицательные углы и углы, большие 360°, что позволило определить тригонометрические функции на всей вещественной числовой прямой, а затем продолжить их на комплексную плоскость. Когда встал вопрос о распространении тригонометрических функций на тупые углы, знаки этих функций до Эйлера нередко выбирались ошибочно; многие математики считали, например, косинус и тангенс тупого угла положительными. Эйлер определил эти знаки для углов в разных координатных квадрантах, исходя из формул приведения.

 

Эйлер впервые представил разложение тригонометрических функций в бесконечные  произведения (1734), откуда вывел ряды для их логарифмов.

 

В других трудах, в первую очередь  «Основания сферической тригонометрии, выведенные из метода максимумов и минимумов» (1753) и «Всеобщая сферическая тригонометрия, кратко и ясно выведенная из первых оснований» (1779), Эйлер впервые дал полное систематическое изложение сферической тригонометрии на аналитическом основании, причём многие крупные результаты принадлежат самому Эйлеру.

 

Тригонометрия в России

 

В России первые сведение о тригонометрии  были опубликованы в сборнике «Таблицы логарифмов, синусов и тангенсов  к изучению мудролюбивых тщателей», опубликованном при участии Л. Ф. Магницкого в 1703 году. В 1714 году появилось содержательное руководство «Геометрия практика», первый русский учебник по тригонометрии, ориентированный на прикладные задачи артиллерии, навигации и геодезии. Завершением периода освоения тригонометрических знаний в России можно считать фундаментальный учебник академика М. Е. Головина (ученика Эйлера) «Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами» (1789).

 

В конце XVIII века в Петербурге возникла авторитетная тригонометрическая школа (А. И. Лексель, Н. И. Фусс, Ф. И. Шуберт), которая внесла большой вклад в плоскую и сферическую тригонометрию.

 

XIX—XXI века

 

В начале XIX века Н. И. Лобачевский добавил  к плоской и сферической тригонометрии  третий раздел — гиперболическую (для геометрии Лобачевского, первую работу в этой области опубликовал Ф. А. Тауринус в 1826 году). Лобачевский показал, что формулы сферической тригонометрии переходят в формулы гиперболической тригонометрии при замене длин сторон треугольника a, b, c на мнимые величины: ai, bi, ci — или, что эквивалентно, при замене тригонометрических функций на соответствующие гиперболические.

 

В XIX—XX веках бурное развитие получили теория тригонометрических рядов и  связанные с ней области математики: гармонический анализ, теория случайных процессов, кодирование аудио и видеоинформации и другие. Начались эти исследования в середине XVIII века со спора о струне; дискуссия продолжалась до 1807 года, когда Фурье завершил основы теории представления функций тригонометрическими рядами. С этого момента ряды и интегралы Фурье стали мощным практическим инструментом анализа функций. Исследуя множества особых точек для тригонометрических рядов, Георг Кантор разработал фундаментальную для всей математики теорию множеств. Огромное влияние теория тригонометрических рядов оказала на развитие комплексного анализа, теории меры и интегрирования, математической физики, электроники и многих других разделов науки.