История тригонометрии

 

       ИСТОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИИ

 

 

                                                         

                                                       

                                                         Реферат подготовила

                                                         ученица 10 «А» класса

                                                         МБОУ СОШ № 54

                                                Аверичева Дарья Маратовна

                                                           Учитель – Рудая В.В

 

 

 

 

 

 

 

 

                                         г. Рязань                                                            

План:

1. Вступление
2. Древняя Греция
3. Индия
4. Европа
5. Новое время
6. Приложение
7. Заключение
8. Список литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вступление.

 

Мы так мало знаем о тригонометрии, об этой загадочной науке, которая появилась намного  раньше, чем кто-либо может предположить. Никто из нас наверняка даже не задумывался с чем связано  возникновение этой науки, где она  впервые возникла, где она использовалась, и когда о ней впервые услышал весь мир, а не отдельные государства. Но начиная знакомиться с тригонометрией еще в прошлом году, меня очень заинтересовала тема истории тригонометрии, окунувшись в которую, мне захотелось, чтобы о ней услышали все, потому что изучение выбранной мной темы – это великое путешествие, путешествие во времени и по миру. Еще древние греки считали тригонометрию важнейшей из наук. И я не буду с ними спорить, я также буду считать ее не только важнейшей из наук, но и важнейшим составляющим всей математической науки. Поэтому я считаю необходимым знать историю тригонометрии.

Как я упоминала  раньше, тригонометрия – древняя  наука, она охватывает более двух тысячелетий. Слово тригонометрия  состоит из двух гречских слов: trigwnon – треугольник и metrew – измерять, что в буквальном переводе означает измерять треугольники. Тригонометрия – это наука о соотношениях между углами и сторонами треугольника и других фигур. Подумать только, как такая наука могла применяться в древности и, главное, для чего? Историки считают, что тригонометрию создали древние астрономы. Но как известные нам сейчас синусы и косинусы могли относиться к звездам? Позже тригонометрию использовали не только в астрономии, но и в геодезии и в архитектуре. В наши дни тригонометрия уже встречается практически во всех естественных науках. А именно сейчас мы узнаем ее историю!

 

 

 

 

 

 

 

Древняя Греция.

«Тригонометрия  – часть астрономии». Так считали  древние греки, чье ясное и  понятное изложение тригонометрических соотношений появилось в книгах. Две теоремы: восемнадцатая и девятнадцатая в книге «Начала» ( 4 век до н.э.) Евклида доказывают, что против большей стороны треугольника лежит больший угол, и наоборот. Кто не согласится, что две эти обратные теоремы носят тригонометрический характер? Во второй книге «Начал» в одной из теорем словесной формулой прописана знакомая нам теорема косинусов, и звучит она примерно так- « В тупоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей тупой угол, больше [суммы] квадратов на сторонах, содержащих тупой угол, на дважды взятый прямоугольник, заключённый между одной из сторон при тупом угле, на которую падает перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром снаружи отрезком при тупом угле ». Следующая теорема описывает остроугольный треугольник. Следующим трудом, в котором встречается что- то похожее на тригонометрию, становится труд астронома Аристарха Самосского. Чтобы определить расстояния до небесных тел,

ученый рассматривал прямоугольный  треугольник, образованный во время  квадратуры Солнцем, Луной и Землей. Квадратура – это такая конфигурация Луны, относительно земли и Солнца, когда угол- планета - Земля – Солнце равен 90°.

  

Ученому нужно было вычислить величину гипотенузы (расстояние от Земли до Солнца) через катет (расстояние от Земли до Луны) при известном значении прилежащего угла (87°). Аристарх посчитал, что расстояние до Солнца в 20 раз больше, чем до Луны. Но он ошибся: на самом деле Солнце почти в 400 раз дальше, чем Луна. Ошибка возникла из-за неточности в измерении угла.     

 Также Аристарх доказал неравенство, которое в современных терминах передаётся формулой:

 

И все- таки в древнее  время греки находили применение плоской тригонометрии зачастую лишь в астрономии. Во втором веке до нашей эры Гиппарх решил сложную  задачу – определил параметры системы эпициклов, представляющих собой движение светил. Именно этому ученому приписывают авторство многих таблиц, не дошедших до нас. Гиппарх и другие древнегреческие математики в своих построениях, связанных с измерением дуг круга, использовали технику хорд. Перпендикуляр к хорде, опущенный из центра окружности, делит пополам дугу и опирающуюся на неё хорду. Половина поделенной пополам хорды — это синус половинного угла, и поэтому функция синус известна также как «половина хорды». Самая известная для школьников, простая и практичная формула   была открыта греками, но только в хордовой форме:

 где  - хорда центрального угла, а - диаметр круга. Но радиус круга, как сейчас, раньше не считался равным единице, а окружность не называлась единичной. Гиппарх считал радиус круга равным R=3438- при таком определении длина дуги окружности была равна угловой мере этой дуги, выраженной в минутах:

  . Позже астроном Клавдий Птолемей дополнил труды Гиппарха и изложил свои в тринадцати книгах «Альмагеста» - это была самая значимая тригонометрическая работа античности.

Основным достижением античной тригонометрической теории стало решение  в общем виде задачи «решения треугольников». Впоследствии эта задача и её обобщения стали основной задачей тригонометрии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Индия.

Центр развития античной математики перемещался в  Индию, и совершенно другие источники  сообщают, что замена хорд синусами – достижение средневековой Индии. Такая замена позволила вводить  различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах.

Индийские учёные пользовались различными тригонометрическими соотношениями, в том числе и теми, которые  в современной форме выражаются как

Как мы уже знаем, тригонометрия  необходима для астрономических  расчётов, которые оформляются в  виде таблиц. Первая таблица синусов  имеется в «Сурья-сиддханте» и у Ариабхаты. В первую очередь индийцы изменили некоторые концепции тригонометрии, приблизив их к современным. Они провели замену античных хорд на синусы. Позднее учёные составили более подробные таблицы: например, Бхаскара приводит таблицу синусов через 1°.Тем самым в Индии было положено начало тригонометрии как общему учению о соотношениях в треугольнике, хотя, в отличие от греческих хорд, индийский подход ограничивался только функциями острого угла.

Но индейцы под синусом  понимали длину отрезка AD, опирающегося на дугу AC окружности радиуса R=3438 единиц (как у Гиппарха).

В первую очередь индийцы  изменили некоторые концепции тригонометрии, приблизив их к современным. Они провели замену античных хорд на синусы (название «синус» восходит к слову «тетива» на санскрите) в прямоугольном треугольнике. Тем самым в Индии было положено начало тригонометрии как общему учению о соотношениях в треугольнике, хотя, в отличие от греческих хорд, индийский подход ограничивался только функциями острого угла.

Синус индийцы определяли несколько иначе, чем в современной математике (см. рис. справа): под синусом понималась. Таким образом, «индийский синус» угла в 3438 раз больше современного синуса и имел размерность длины. Из этого правила были исключения; например, Брахмагупта по неясным причинам принял радиус равным 3270 единиц.

Индийцы первыми ввели  в использование косинус. Использовался ещё так называемый обращённый синус, или синус-верзус, равный длине отрезка DC на рисунке справа.

Как и у греков, тригонометрия  индийцев развивалась главным образом  в связи с её астрономическими приложениями, в основном для использовании  в теории движения планет и для  изучения небесной сферы. Это свидетельствует о хорошем знании сферической тригонометрии «Альмагеста» и «Аналеммы», однако ни одной их собственной работы, развивающей теорию этого раздела тригонометрии, не обнаружено. Тем не менее в разработке прикладных алгоритмов решения астрономических задач индийцы достигли больших успехов. Например, в «Панча-сиддхантике» Варахамихиры (VII в.) даётся оригинальное решение астрономической задачи, описанной у Птолемея: найти высоту Солнца над горизонтом, если известны широта местности, склонение Солнца и его часовой угол. Автор для решения применяет аналог теоремы косинусов, он же впервые привёл формулу для синуса половинного угла.

Статуя Ариабхаты. Индийский межуниверситетский центр астрономии и астрофизики (IUCAA)

Для астрономических  расчётов был составлен ряд тригонометрических таблиц. Первые (четырёхзначные) таблицы  синусов приведены в древней«Сурья-сиддханте» и у Ариабхаты («Ариабхатия», V век). Таблицы Ариабхаты содержат 24 значения синусов и синус-верзусов с интервалом 3°45' (половина шага таблиц у Гиппарха).

Важный вклад в развитие тригонометрии внес Брахмагупта (VII в.), открывший несколько тригонометрических соотношений, в том числе и те, которые в современной записи приняли вид:

Кроме того, индийцы знали  формулы для кратных углов  ,   для  . В «Сурья-сиддханте» и в трудах Брахмагупты при решении задач фактически используется сферический вариант теоремы синусов, однако общая формулировка этой теоремы в Индии так и не появилась. Историки нашли в индийских трудах неявное использование тангенсов, но важность этого понятия была осознана только позже, математиками исламских стран.

В трудах другого выдающегося  ученого, Бхаскары II (XII век), приводятся формулы для синуса и косинуса суммы и разности углов:

а также формула для  малого приращения синуса:

(при  ), соответствующая современному выражению для дифференциала синуса. Опираясь на формулу синуса суммы, Бхаскара опубликовал более точные и подробные, чем у Ариабхаты, тригонометрические таблицы с шагом 1°.

В XI веке мусульмане (Махмуд Газневи) захватили и разорили Северную Индию. Культурные центры переместились в Южную Индию, где образуется так называемая «школа Керала»  (по названию современного штата Керала на юге Индии). В XV—XVI веках математики Кералы в ходе астрономических исследований добились больших успехов в области суммирования бесконечных числовых рядов, в том числе для тригонометрических функций. В анонимном трактате «Каранападдхати» («Техника вычислений») даны правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды, восходящие, вероятно, к основателю этой школы астроному Мадхаве (1-я половина XV века).                                                                  

 

Мадхава и его последователь Нилаканта  (в трактате «Taнтpacaнrpaха») приводят также правила разложения арктангенса в бесконечный степенной ряд. В Европе к подобным результатам подошли лишь в XVII—XVIII веках. Так, ряды для синуса и косинуса вывел Исаак Ньютон около 1666 года, а ряд арктангенса был найден Дж. Грегори в 1671 году и Г. В. Лейбницем в 1673 году.