Кейбір параметрден тәуелді есептерді шығару әдістері

ӘӨЖ 51(035.5)

ЗЕЙНЕТОЛДАНОВА Н.З., САТПАЕВА З.З., АПЫШЕВ О.Д.

С. Аманжолов атындағы ШҚМУ, Өскемен қаласы

 

КЕЙБІР ПАРАМЕТРДЕН ТӘУЕЛДІ ЕСЕПТЕРДІ ШЫҒАРУ ӘДІСТЕРІ.

 

Әртүрлі кластарға жататын теңдеулерде айнымалының коэффициенттері параметрмен берілген теңдеулерді (теңсіздіктерді) параметрлі теңдеулер (теңсіздіктер) деп атайды.

Ондай есептерді шешу дегеніміз - параметрдің әрбір берілген мәні үшін келтірілген есептің шешімін табу болып табылады.

Біздің мақалада параметрі бар әртүрлі (алгебралық, трансценденттік) функциялардан жасалған есептердің қалай шешілетіні туралы мысалдар келтірілген. Ондай есептерді соңғы кезде стандартты емес есептер деп, ал кейбір әдебиеттерде қиындығы жоғары дәрежедегі есептер деп аталып жүр. Қазір қолданыста жүрген оқулықтардың тізімі (бірен-сараны) мақаланың соңында әдебиеттер тізімінде көрсетілген.

Кең тараған әдістер болып аналитикалық, графиктік немесе графо-аналитикалық әдістер табылады. Мақалада біз негізінен бірнеше тәсілмен шығарылатын есептерді қарастырамыз. Өзіндік ерекшеліктері бар болғандықтан тек қана графиктік немесе екі тәсілдің комбинациясынан тұратын есептерді келешекте бөлек қарастырайық деп ұйғардық. Оқушы қауымға ұсынылған есептер ең қарапайым түрінен басталып біртіндеп ауысатындай (мүмкіндігіміз келгенше) ретте орналасқан.

Мысалдарды қарастырайық (параметрлердің мүмкін мәндер жиынында есептердің шешімдері қалай табылатыны көрсетіледі, сондықтан қайта-қайта жазбауға келістік).

 

1.

   

 

1) Егер  болса, яғни , онда теңдеудің түбірі жоқ.

2) Егер  болса, яғни , онда теңдеудің жалғыз түбірі болады.

Сонымен, егер , егер Ø.  

 

2. теңдеуі тепе-тең түрлендірудің нәтижесінде -сызықтық түрге енеді де, параметр -ның қабылдайтын мәндеріне байланысты әртүрлі жағдайын қарастыру қажет.

 

3. -ның қандай мәндерінде теңдеуінің екі түбіріде оң сан болады?

; шарттары орындалса жеткілікті.

 немесе  бұдан ( -теңдеудің екі еселі түбірі).

4. -түбірлерінің квадраттарының қосындысы ең кіші болатын -ның мәнін анықтайық.

Виет  теоремасынан , біріншісін квадраттасақ , екіншісін ескеріп аламыз. Егер болса, онда болатынын көреміз.

4. теңдеуінің екі түбіріде 2-ден артық болатын параметр -ның барлық мәндерін табайық.

Теңдеудің әртүрлі нақты екі түбірі болуы керек, яғни параболаның тармақтары жоғары бағытталған. Түбірлердің екеуі де 2-ден артық, олай болса парабола осін 2-ден оңға орналасқан нүктеде қияды. Демек .

Парабола төбесі де 2-ден оңға қарай орналасқан, олай болса, оның абциссасы да 2-ден артық болады, яғни  . Сонымен, келесі теңсіздіктер системасы пайда болады:

5. . Егер немесе болса теңдеудің түбірі болмайды. Егер берілген теңдеу екі теңдеуге жіктеледі: немесе бұдан және . Сонымен, Ø; және .

6. Параметр  -ның қандай мәндерінде теңдеулер системасының шешімі болмайтынын анықтайық.

Егер төмендегі шарттар орындалса,

, системаның шешімі жоқ.

Түрлендірулер нәтижесінде мәндес ситемаға келеміз. Системаның бірінші теңдеуінен , ал екіншісінен шығады. Сонымен жалғыз мәнінде ғана системаның шешімінің болмайтынын көреміз.

7. Параметр  -ның үшін қос теңсіздігі орындалатын мәндерін анықтайық.

себебі

 

.

 

Егер осы системадағы квадрат теңсіздіктердің екеуінде де дискриминанттары теріс сандар болса, онда барлық -тің мәндері үшін теңсіздіктер дұрыс, яғни

 

немесе

 

Сонымен параметр -ның мәндері үшін берілген қос теңсіздіктің шешімі табылады.

8. -тің барлық мәндері үшін теңсіздігі ның қандай мәндерінде орындалатынын анықтайық.

 

 

Егер квадрат үшмүшеліктердің дискриминанттары теріс сандар болса, онда системадағы теңсіздіктер орынды.

 

 

9. теңсіздігінің бір ғана теріс түбірі болатын параметр -ның ең кіші мәнін табайық. Берілген теңсіздік келесі системаға мәндес:

 

 десек  мәнін анықтадық.

Үш жағдай болуы мүмкін:

 

2. -  системаның шешімі болмайды
3. -шешім жоқ

 

Сонымен, . Есептің талабы бойынша -ның ең кіші бүтін мәнін табу қажет., демек есептің жауабы болатынын көреміз.

 

10. теңсіздігі орынды болатын параметр -ның барлық мәндерін табайық.

Теңсіздік түрінде берілген, мұндағы . Шешімі, (егер ) немесе (егер ), ал егер Ø.

Осылайша теңсіздіктің шешімдері болып аралықтар табылатынын көреміз.

Есептің берілу шартынан, координаттары 2 және 3 нүктелері интервалында жатканда ғана теңсіздік торындалады, яғни .

Біріншісінен, , ал екіншісінен мәндерін аламыз. Сонымен, берілген теңсіздік шартын қанағаттандыратын үшін параметр немесе болуы қажет екенін көреміз.

11. Параметр -ның қандай мәндерінде теңдеуінің екі шешімі болады?

Теңдеудің екі жағында -ке бөлсек эквивалентті теңдеуге келеміз, ауыстыруын жасап квадрат теңдеуге келеміз -ке қайта көшсек бірінші теңдеудің шешімі жоқ, ал екіншісінің екі шешімі болады, егер .

12. үшін теңсіздігі орындалатын параметр -ның барлық мәндерін анықтайық.

деп белгілесек түріндегі квадрат теңсіздікке келеміз.

үшін осы теңсіздік орынды болатын параметр -ның мүмкін мәндер жиынын анықтауға келдік. Геометриялық талқылау арқылы есептің шешімін қарастырайық. Бас коэффициенті бірге тең болғандықтан – графигі тармақтары жоғары бағытталған параболалар жиынтығы, осі түзуі, ал төбесі нүктелері. барлық параболалар түгелімен жоғары жарты жазықтықта орналасады, олай болса квадрат үшмүшелігі -оң мәнге ие болады.

Әрбір симметрия осі ордината осінің сол жағына орналасып, парабола онымен нүктесінде қиылысады, онда . Олай болса, квадрат үшмүшеліктің таңбасы оң. Сонымен, . Ендеше берілген теңсіздік үшін  параметр -ның осы мәндерінде орындалады.

13. Параметрге байланысты  теңдеуінің неше шешімі бар болатынын анықтайық. Потенциалдағаннан кейін -ирроционал теңдеуін аламыз, анықталу облысы болып cистемасы табылады, яғни , онда .

Сол себепті, функциясы қатаң монотонды өспелі. Ал ондай функциялар өздерінің кезкелген мәндерін жалғыз рет қана қабылдайды. функциясыда қатаң өспелі болғандықтан, берілген  теңдеуі параметр -ның кезкелген мәндерінде жалғыз шешімге ие болатынын көреміз.

14. теңдеуін шешейік. яғни облысында жататын шешімдерін іздейміз. десек теңдеуін аламыз. осы теңдеудің тек болса ғана шешімі болады, оның сегментінде жататын шешімдерін ішінен іріктеп аламыз. Үш жағдай болуы мүмкін:

1) Егер  бүтін -ның мәндерінің ішінде аралығында болғандағы шешімдері жатады;

2) Егер  ;

3) Егер  шешімдері қанағаттандырады.

Сонымен,

 

 

 

15. -ның қандай мәндерінде теңсіздігінің шешімі бар болады? десек тригонометриялық теңсіздіктен аламыз, ал ең соңында теңсіздігіне келеміз. Толықтауыш бұрыш енгізсек .  Бұл қатынас тек қана параметр -өрнегінің ең үлкен мәнінен кіші болса орынды. Ал . Олай болса теңсіздігі параметр мәндерінде шешімге ие болатынын көреміз.

 

ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ:

 

1 Амелькин В.В., Робцевич  В.Л. Задачи с параметрами. – Минск: Асар, 1996.-464с.

2 Ястребинецкий Г.А. Задачи  с параметрами. – Москва: Просвещение, 1986.-128с.