Комбинаторика в нашей жизни

      Фестиваль исследовательских и творческих работ учащихся

      «Портфолио» 2007/2008 
 
 
 
 
 
 
 

      КОМБИНАТОРИКА В НАШЕЙ 

      ЖИЗНИ 
 
 
 
 

                            Авторы работы: Корнеева Нина, Канайкина Алина,

                            Исхакова Разиля, студенты 3 курса

                            Научный руководитель: Янтилина Р.Р.

                            Учебное заведение: ГОУ СПО СПК 
 
 
 
 
 

      Салават, 2007 

Содержание 

Введение……………………………………………………………………….…..3 

1. Понятие о науке «Комбинаторика» …………………………………………..5 

2. Комбинаторика  в различных областях жизнедеятельности  человека……...8 

2.1. Музыкальная комбинаторика ………………………………………………8

2.2. Мебельная комбинаторика ...………………………………………………10

2.3. Математика на шахматной доске …………………………..……….....…..11

2.4. Пароли и  коды в нашей жизни …………………………………………….13 

3. Выбор нескольких  элементов

3.1. Сочетания  в нашей жизни …........................................................................14

3.2. Примеры решения  задач на нахождение числа  сочетаний .……………..20 

Заключение ……………………………………………………………………..25

Литература……………………………………………………………………….26

Приложения ……………………………………………………………………..27 
                                                       Введение 

                                       "Число, положение  и комбинация -

                                       три взаимно пересекающиеся, но

                                       различные сферы  мысли, к которым 

                                       можно отнести все  математические

                                       идеи".

                                                            Дж. Сильвестр (1844 г.)

     Человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число всех возможных способов осуществления некоторого действия. Разные пути или варианты, которые приходится выбирать человеку, складываются в самые разнообразные комбинации. Такие задачи приходиться рассматривать при определении наиболее выгодных коммуникаций внутри города, при организации автоматической системы управления, значит и в теории вероятностей, и в математической статистике со всеми их многочисленными приложениями. И целый раздел математики, называемый комбинаторикой, занят поиском ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или другом случае.

     Комбинаторика – ветвь математики, изучающая  комбинации и перестановки предметов, казалось, долгое время лежала вне основного русла развития математики и ее приложений. На протяжении двух с половиной столетий основную роль в изучении природы играл математический анализ. Процессы, имевшие атомистическую природу, заменялись непрерывными, чтобы можно было применить к ним развитый аппарат математики. Положение коренным образом изменилось после создания быстродействующих вычислительных машин, компьютеров. С их помощью стало возможным  делать переборы, ранее требовавшие сотен и тысяч лет. В эпоху расцвета  дискретной математики изменилась и роль древнейшей области дискретной математики – комбинаторики. Из области, интересовавшей большей частью составителей занимательных задач и находившей основные применения в кодировании и расшифровке древних письменностей, она превратилась в область, находящуюся на магистральном пути развития науки. Стали выходить журналы по комбинаторике, печататься книги, посвященные этой науке. Элементы комбинаторики находят отражение и в школьном курсе математики. [8].

     В нынешнее время комбинаторика имеет  огромное значение в различных областях науки и сферы. С комбинаторными величинами приходится иметь дело представителям многих специальностей: ученому –  химику, биологу, конструктору, диспетчеру и т.п. Усиление интереса к комбинаторике в последнее время обуславливается бурным развитием кибернетики и вычислительной техники.

     Объект  исследования: область математики – комбинаторика.

     Цель: исследования: показать, что область комбинаторики широко применяется в различных сферах жизнедеятельности. 

     Гипотеза: комбинаторика имеет широкий спектр практической направленности.

     Задачи  исследования:

     - собрать, изучить и систематизировать  материал о комбинаторике. 

     -рассмотреть   использование комбинаторики в  различных сферах жизнедеятельности

     - рассмотреть как элементы комбинаторики,  в частности сочетания, используются  при решении различных жизненных  ситуаций;

     - показать практическую значимость  комбинаторики как области математики.

 

1. Понятие о науке «Комбинаторика»

                                       "Вперёд поедешь  — голову сложишь,

                                       направо поедешь  — коня потеряешь,

                                       налево поедешь  — меча лишишься"

     Человеку  часто приходится иметь дело с  задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число  всех возможных способов осуществления некоторого действия. Разные пути или варианты, которые приходится выбирать человеку, складываются в самые разнообразные комбинации.

     Комбинаторика – ветвь математики, изучающая  комбинации и перестановки предметов, – возникла в XVII в. Долгое время комбинаторика лежала вне основного русла развития математики. На протяжении двух с половиной столетий основную роль в изучении природы играл математический анализ. Процессы, имевшие атомистическую природу, заменялись непрерывными, чтобы можно было применить к ним развитый аппарат математики. Положение коренным образом изменилось после создания быстродействующих вычислительных машин, компьютеров. С их помощью стало возможным  делать переборы, ранее требовавшие сотен и тысяч лет. В эпоху расцвета  дискретной математики изменилась и роль древнейшей области дискретной математики – комбинаторики. Из области, интересовавшей большей частью составителей занимательных задач и находившей основные применения в кодировании и расшифровке древних письменностей, она превратилась в область, находящуюся на магистральном пути развития науки. Стали выходить журналы по комбинаторике, печататься книги, посвященные этой науке. Элементы комбинаторики находили отражение и в школьном курсе математики. [8].

     С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов – во время работы. По мере усложнения производственных и общественных отношений все шире приходилось пользоваться общими понятиями о порядке, иерархии, группировании. [3].

     Одним из первых занялся подсчетом числа  различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Он составил таблицу, показывавшую, сколькими способами могут выпасть р костей. Однако при этом не учитывалось, что одна и та же сумма очков может быть получена разными способами. [9].

     Со  временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв с использованием ключевых слов и т. д.

     Задача, в которых идет речь о тех или  иных комбинациях объектов, называются комбинаторными. Область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи, называются комбинаторикой. Комбинаторику можно рассматривать как часть теории множеств – любую комбинаторную задачу можно свести к задаче о конечных множествах и их отображениях.

     Комбинаторика как наука стала развиваться  в VIII в. параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Тарталье (ок. 1499-1557), Г. Галилею (1564-1642) и французским ученым В. Паскалю (1623-1662) и П. Ферма. Комбинаторику, как самостоятельный раздел математики, первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666 г. Он также впервые ввел термин «комбинаторика». Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л. Эйлер. [15].

     В 1896 году американский математик Элиаким Гастингс Мур (1862-1932)    ввёл    термин тактическая конфигурация в статье "Tactical memoranda", понимая под этим термином систему n множеств, содержащих, соответственно, a1, a2, … , an элементов. К тактическим конфигурациям Мур относит сочетания, размещения, системы решений задачи Киркмана о 15 школьницах, подгруппы некоторых групп. Он демонстрирует широкий спектр задач из геометрии, теории групп, которые приводят к тактическим разложениям или используют тактические разложения. Мур обогатил список известных комбинаторных конфигураций. (Приложение №1)

     Термин "тактика" ввёл в математику английский математик Джеймс Джозеф Сильвестр (1814-1897) в 1861 году. Сильвестр определял тактику как раздел математики, изучающий расположение элементов друг относительно друга. В сфере этого раздела находится, по мнению Сильвестра, теория групп, комбинаторный анализ и теория чисел. (Приложение №2) [11].

     В современном обществе с развитием вычислительной техники комбинаторика «добилась» новых успехов. Так, с помощью ЭВМ была решена комбинаторная задача, известная под названием «проблема четырех красок»: удалось доказать, что любую карту можно раскрасить в четыре цвета так, что никакие две страны, имеющие общую границу, не будут окрашены в один и тот же цвет [12].

     2. Комбинаторика в  различных областях  жизнедеятельности  человека

     2.1. Музыкальная комбинаторика

                                             А вот и Моцарт по сотовому.

                                             В сотый раз, но только начало.

                                             Из ожиданий соткана,

                                             Внезапно музыка звучала.

                                             А дальше что-то личное,

                                             Тут даже Моцарт лишний,

                                             Людских страстей излишества

                                             Для пересудов пища… 

                                             Минута встреч эфирная,

                                             Итоги эфемерные,

                                             А музыка красивая,

                                             В ней вечности – немерено.

                                                           Виктор Бабковский

     В знаменитой книге Германа Гессе  «Игра в бисер» есть соображения  о внутренней связи музыки с математикой. В работе Марины Радославовны говорится, что комбинаторика связана с построением музыкальной ткани из мельчайших элементов. Расположение элементов идет по трем координатам – вертикали, горизонтали и диагонали фактуры. Диагональ можно сравнить с глубиной. Движение внутри ансамбля по разным тембрам дает диагональ. В фактуре это надо увидеть, что связано с определенными способностями, подготовкой. [7]