Автор работы: Пользователь скрыл имя, 11 Декабря 2013 в 11:53, контрольная работа
Работа содержит условия и решение 7 задач.
ЗАДАЧА 1 3
ЗАДАЧА 2 4
ЗАДАЧА 3 5
ЗАДАЧА 4 6
ЗАДАЧА 5 7
ЗАДАЧА 6 8
ЗАДАЧА 7 9
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 11
МИНОБРНАУКИ РОСИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФАКУЛЬТЕТ ЗАОЧНОГО И ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Кафедра учета и финансов Выполнила: Латышева Н.В
Направление
«Экономика»
Дисциплина «Математический
Оценка
Челябинск
2013
ОГЛАВЛЕНИЕ
Исходя из определения предела числовой последовательности показать, что , где , A=1.
Решение
Определение предела числовой последовательности:
Число A называется пределом числовой последовательности (an), если "e >0 $NÎN такой, что "n>N: |an - A | < e.
Пусть e - любое положительное число.
Решим неравенство |an - 1| < e или . Преобразуем:
.
Положим N=[1/e-2] (целая часть числа).
Тогда для любого числа e > 0 найден номер N=[1/e-2] такой, что из неравенства n>N следует выполнимость неравенства |an-1|<e.
Следовательно, . Что и требовалось доказать.
Найти сумму числового ряда , где
Решение
Применим определение сходящегося числового ряда:
Если существует конечный предел , то число S называют суммой ряда , а сам ряд называется сходящимся.
Сумма n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда.
Найдем Sn.
Так как , то ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
Исследовать на сходимость числовой ряд, где:
Решение
Подберем формулу n-го члена ряда: .
Применим признак Даламбера: если для членов ряда с положительными членами существует конечный предел , то ряд сходится при q<1 и расходится при q>1.
ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
Для функции y = f (x), которая при x ¹ 0 задается формулой, которая приведена в нижеследующей таблице:
a) вычислить производную в любой точке x ¹ 0;
b) доопределить её до непрерывности в точке x = 0;
с) вычислить её производную в точке х = 0.
Решение
а) Применим правила дифференцирования и определение модуля действительного числа: .
Пусть x>0:
Пусть x<0:
b) Функция не определена при х=0, доопределим функцию до непрерывности в точке x = 0, полагая :
,
с) Вычислим производную в точке х = 0, используя определение производной:
При х0=0 имеем:
Получили неопределенность, раскроем ее, раскладывая функции в степенной ряд:
=0
Ответ: f ¢(x)=0
Вычислить неопределённый интеграл от функции f(x), где f(x)= .
Решение
Применим метод интегрирования заменой переменной:
Ответ:
Вычислить определённый интеграл , где: с=2, w=2
Решение
Применим формулу
В результате пришли к исходному интегралу. Перенесем интеграл из правой части в левую часть и выполним расчеты:
Ответ:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими кривыми:
y + x3 = 3c2 x; y + 3c2 = x2
Значение параметра c равно номеру варианта. Построить на плоскости данную фигуру.
Решение
При с=1 имеем: y=-x3+3x, y=x2-3
Построим кубическую параболу.
Найдем экстремумы функции:
y’=(-x3+3x)’=-3x2+3=0 Þ x2=1 Þ x= ±1 – критические точки. Исследуем их:
- + -
-1 1
y(-1)=-(-1)3+3(-1)=-2 – min
y(1)=-13+3*1= 2 – max
Точки пересечения с Оу: х=0 Þ y=-03+3*0= 0
Точки пересечения с Оу: y=0 Þ -x3+3x=0 Þ -x(x2-3)=0 Þ x=0;
Построим квадратную параболу y=x2-3 смещением y=x2 на 3 единицы вниз по Оу.
Точки пересечения с Оу: х=0 Þ y=02-3= -3
Точки пересечения с Оу: y=0 Þ x2-3=0 Þ
Точки пересечения графиков:
Þ -x3+3x=x2-3 Þ x3+ x2- 3x-3=0 Þ x= -1;
Найдем площадь фигуры, состоящей из двух областей, поэтому S=S1+S2.
Применим геометрический смысл определенного интеграла:
S1=
S2=
S=
Ответ: