Контрольная работа по "Линейной алгебре и аналитической геометрии"

Контрольная работа № 3.

«Линейная алгебра и аналитическая  геометрия»

Вариант 1

1. Найдя сначала обратную матрицу системы уравнений решить затем эту систему методом обратной матрицы.

Решение:

Перепишем систему в виде , где , , .

Решение матричного уравнения имеет  вид  . Найдем . Имеем

= = = = = .

Вычислим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

,  ,  ,

,  ,   ,

,  ,   .

Таким образом, , откуда

= .

Следовательно, , , .

Ответ: , , .

 

2. Решить систему уравнений методом Крамера:

Решение:

Если система линейных уравнений имеет определитель то система уравнений имеет единственное решение, которое определяется по формулам Крамера

x = ; y = ; z = , где Dx = , Dy = , Dz = .

Имеем

= = = = = = .

= = = = = .

= = = = = .

= = = = = .

Следовательно, решение системы  уравнений

      .

Ответ: , , .

 

3. Решить методом Гаусса систему уравнений

Решение:

При решении систем уравнений можно  пользоваться методом Гаусса, который  заключается в последовательном исключении неизвестных. В этом случае система уравнений приводится к  ступенчатому виду.

Но практически удобнее  приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов.

Запишем расширенную матрицу  системы уравнений: .

Выполним следующие действия:

1. Умножим первую строку на 2, вторую на 3 и сложим их;
2. Умножим первую строку на , третью на 3 и сложим их;
3. Умножим первую строку на 4, четвертую на 3 и сложим их;
4. Поменяем вторую и третью строки местами;
5. Умножим вторую строку на 23, третью на 26 и сложим их;
6. Умножим четвертую строку на 2 и сложим со второй;
7. Разделим третью и четвертую строки на 3;
8. Умножим третью строку на , четвертую на 97 и сложим их;
9. Разделим четвертую строку на 1608.

Используя полученную матрицу, выписываем преобразованную систему уравнений  и находим решение:

Ответ: , , , .

 

4. Найти уравнение касательной  к гиперболе  в точке .

Решение:

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид , где есть значение производной при .

Поэтому из уравнения кривой найдем производную:

 или  ,

т. е. ,

значит  .

Найдем значение производной в  точке 

.

Уравнение касательной  ,

,

,

,

.

Ответ: .

 

5. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .

Решение:

Запишем уравнение связки плоскостей, проходящих через данную точку:

.

Нормальный вектор искомой плоскости  совпадает с нормальным вектором данной плоскости; следовательно, , , и уравнение искомой плоскости примет вид

,

,

или .