Контрольная работа по "Математика"

Вариант №7.

1.Найти косинус   угла между векторами  и , если: | |=2, | |=3, =3

 

_{Решение:}

_{Формула вычисления косинуса угла между векторами:}

 

 

2.Написать уравнение  прямой, отсекающей на осях отрезки:  a=3, b=2

 

Решение:

Уравнение прямой в отрезках:

3.Решить систему  уравнений по формулам Крамера: 

_{Решение:}

Определим совместимость  системы:

1. определим

 

Вычтем: из строки №2 строку №1, умноженную на 2

из строки №3 строку №1

Меняем строку №2 и строку №3 местами. Предварительно делим строку №2 на 9, а строку №3 на (-4)

2. определим

Вычтем: из строки №2 строку №1, умноженную на 2

из строки №3 строку №1

Меняем строку №2 и строку №3 местами. Предварительно делим строку №2 на 9, а строку №3 на (-4)

Выделим невырожденную  квадратную подматрицу (минор) 3 порядка

Т.к. = = n (количество неизвестных) система уравнений имеет единственное решение.

Находим главный определитель по правилу Саррюса:

Находим первый определитель (заменив первый столбец  столбцом свободных членов) по правилу  Саррюса:

Находим второй определитель (заменив второй столбец столбцом свободных членов) по правилу Саррюса:

Находим третий определитель (заменив третий столбец  столбцом свободных членов) по правилу  Саррюса:

 

4.Найти четность (нечетность) функции: y=x³sinx

 

Решение:

 
Т.к.  функция является четной

 

5.Вычислить предел функции: 

_{Решение:}

_{Получена  неопределенность. Разложим числитель и знаменатель на множители.}

_{Числитель:}

_{Знаменатель:}

 

6.Найти производную  функции: y=ln

_{Решение:}

_{Перед началом дифференцированием упростим функцию, воспользовавшись следующими формулами:}

 

_{Для дифференцирования  сложной функции. Воспользуемся формулой}

7.Исследовать  функцию и построить график:

Решение:

Область определения  функции  , точка разрыва x=0 (деление на ноль);

x=0 – вертикальная асимптота

y=0 – горизонтальная асимптота

График симметричен  относительно начала координат

Точек пересечения  с осями нет

 

График функции

 

8.Найти интеграл функции:

_{Решение:}

 

9.Найти площадь  фигуры, ограниченной линиями: y=x²-2x+4, y=3, x=-1

Решение:

Построим график:

Точки пересечения  линий:

x=-1 и x=1

 

Необходимо найти площадь  фигуры, закрашенной серым цветом. Для этого из площади фигуры, заштрихованной розовым пунктиром вычитаем площадь фигуры заштрихованной зеленым пунктиром.

 

 

Площадь фигуры находим  с помощью определенного интеграла:

 

 

10.Найти частные производные  функции: z=xy³

Решение:

Частная производная по x: , при этом y считается константой

 

Частная производная по y: , при этом x считается константой