Контрольная работа по "Математике"

 

Вариант 23

1. Найти общий или частный интеграл (решение) дифференциального уравнения первого порядка:

а) ,	б) ,
в)	г)
д) ,	е)

2. Найти общий или частный интеграл (решение) дифференциального уравнения, допускающего понижения порядка:

а)

б) .

3. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка:

а)	в)
б)	г)

4. Найти все частные производные 1-го порядка:

а) ,

б) ,

в) .

5. Исследовать на сходимость следующие числовые ряды (для знакочередующихся рядов провести еще исследование на абсолютную и условную сходимость):

а) ,

б)

в)

г)

6. Найти радиус и интервал сходимости следующего степенного ряда, а также исследовать его на сходимость на концах интервала:

.

7. Разложите данную функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x₀ (выпишете первых три ненулевых члена ряда):

.

а) Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Решение уравнения  будем искать в виде  y = e^rx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r² + r - 6 = 0

D = 1² - 4 • 1 • (-6) = 25

 

 

Корни характеристического уравнения:

r₁ = 2

r₂ = -3

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

y₁ = e^2x

y₂ = e^-3x

Общее решение однородного  уравнения имеет вид:

 

Рассмотрим правую часть:

f(x) = (6•x+1)•e^3•x

Поиск частного решения.

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:

R(x) = e^αx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы

имеет частное решение

y(x) = x^ke^αx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

где k - кратность корня  α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).

Здесь P(x) = 6•x+1, Q(x) = 0, α = 3, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 3 + 0i не является корнем характеристического уравнения .

Уравнение имеет частное  решение вида:

 

Вычисляем производные:

y' = e^3x(3•A•x+A+3•B)

y'' = 3•e^3x(A(3•x+2)+3•B)

которые подставляем в  исходное дифференциальное уравнение:

y'' + y' -6y = (3•e^3x(A(3•x+2)+3•B)) + (e^3x(3•A•x+A+3•B)) -6((Ax + B)e^3x) = (6•x+1)•e^3•x

 или

6•A•x•e^3x+7•A•e^3x+6•B•e^3x = (6•x+1)•e^3•x

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

6A  = 6

7A + 6B  = 1

Решая ее, находим:

A = 1;B = -1;

Частное решение имеет вид:

y^* = (x -1)e^3x

Таким образом, общее решение  дифференциального уравнения имеет  вид:

 

 

б) Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Решение уравнения будем  искать в виде  y = e^rx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r² -6 r + 9 = 0

D = (-6)² - 4 • 1 • 9 = 0

 

 

Корни характеристического уравнения:

Корень характеристического  уравнения r₁ = 3 кратности 2.

Следовательно, фундаментальную систему решений  составляют функции:

y₁ = e^3x

y₂ = xe^3x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

 

Рассмотрим  правую часть:

f(x) = 9•x²-39•x+65

Поиск частного решения.

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:

R(x) = e^αx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы

имеет частное  решение

y(x) = x^ke^αx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

где k - кратность корня  α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).

Здесь P(x) = 9•x²-39•x+65, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 0 + 0i не является корнем характеристического  уравнения .

Уравнение имеет частное  решение вида:

 

Вычисляем производные:

y' = 2•A•x+B

y'' = 2•A

которые подставляем  в исходное дифференциальное уравнение:

y'' -6y' + 9y = (2•A) -6(2•A•x+B) + 9(Ax² + Bx + C) = 9•x²-39•x+65

 или

9•A•x²-12•A•x+2•A+9•B•x-6•B+9•C = 9•x²-39•x+65

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

9A  = 9

-12A + 9B  = -39

2A -6B + 9C  = 65

Решая ее, находим:

A = 1;B = -3;C = 5;

Частное решение  имеет вид:

y^* = x² -3x + 5

Таким образом, общее решение дифференциального  уравнения имеет вид:

 

 

 

в)

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Решение уравнения  будем искать в виде  y = e^rx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r² -8 r + 20 = 0

D = (-8)² - 4 • 1 • 20 = -16

 

 

Корни характеристического уравнения:

(комплексные  корни):

r₁ = 4 + 2i

 

Следовательно, фундаментальную систему решений  составляют функции:

 

 

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

 

Рассмотрим  правую часть:

f(x) = 16•(sin(2•x)-cos(2•x))

Поиск частного решения.

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:

R(x) = e^αx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы

имеет частное  решение

y(x) = x^ke^αx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

где k - кратность  корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).

Здесь P(x) = 16•(sin(2•x)-1, Q(x) = 0, α = 0, β = 2.

Следовательно, число α + βi = 0 + 2i не является корнем характеристического уравнения .

Уравнение имеет частное решение вида:

y^* = (Ax + B)cos(2x) + (Cx + D)sin(2x)

Вычисляем производные:

y' = sin(2x)(-2•A•x-2•B+C)+cos(2x)(A+2(C•x+D))

y'' = -4•cos(2x)(A•x+B-C)-4•sin(2x)(A+C•x+D)

которые подставляем  в исходное дифференциальное уравнение:

y'' -8y' + 20y = (-4•cos(2x)(A•x+B-C)-4•sin(2x)(A+C•x+D)) -8(sin(2x)(-2•A•x-2•B+C)+cos(2x)(A+2(C•x+D))) + 20((Ax + B)cos(2x) + (Cx + D)sin(2x)) = 16•(sin(2•x)-cos(2•x))

 или

16•A•x•sin(2x)+16•A•x•cos(2x)-4•A•sin(2x)-8•A•cos(2x)+16•B•sin(2x)+16•B•cos(2x)+16•C•x•sin(2x)-16•C•x•cos(2x)-8•C•sin(2x)+4•C•cos(2x)+16•D•sin(2x)-16•D•cos(2x) = 16•(sin(2•x)-cos(2•x))

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

16A  = 0

16A  = 0

-4A + 16B -8C + 16D  = 16

-8A + 16B + 4C -16D  = -16

Решая ее, находим:

A = 0;B = 0;C = 0;D = 1;

Частное решение  имеет вид:

y^* = (0x )cos(2x) + (0x + 1)sin(2x)

или

y^* = ()cos(2x) + (+ 1)sin(2x)

Таким образом, общее решение дифференциального  уравнения имеет вид:

 

 

г)

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Решение уравнения  будем искать в виде  y = e^rx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r² +2 r + 0 = 0

D = 2² - 4 • 1 • 0 = 4

 

 

Корни характеристического уравнения:

r₁ = 0

r₂ = -2

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

y₁ = e^0x

y₂ = e^-2x

Общее решение  однородного уравнения имеет  вид:

 

Рассмотрим  правую часть:

f(x) = e^x•(sin(x)+cos(x))

Поиск частного решения.

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:

R(x) = e^αx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы

имеет частное  решение

y(x) = x^ke^αx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

где k - кратность  корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).

Здесь P(x) = sin(x), Q(x) = 0, α = 1, β = 1.

Следовательно, число α + βi = 1 + i не является корнем характеристического уравнения .

Уравнение имеет  частное решение вида:

y^* = e^x((Ax + B)cos(x) + (Cx + D)sin(x))

Вычисляем производные:

y' = e^x(sin(x)(-A•x-B+C•x+C+D)+cos(x)(A•x+A+B+C•x+D))

y'' = 2•e^x(cos(x)(A+C•x+C+D)-sin(x)(A•x+A+B-C))

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

y'' + 2y' = (2•e^x(cos(x)(A+C•x+C+D)-sin(x)(A•x+A+B-C))) + 2(e^x(sin(x)(-A•x-B+C•x+C+D)+cos(x)(A•x+A+B+C•x+D))) = e^x•(sin(x)+cos(x))

 или

-4•A•x•e^x•sin(x)+2•A•x•e^x•cos(x)-2•A•e^x•sin(x)+4•A•e^x•cos(x)-4•B•e^x•sin(x)+2•B•e^x•cos(x)+2•C•x•e^x•sin(x)+4•C•x•e^x•cos(x)+4•C•e^x•sin(x)+2•C•e^x•cos(x)+2•D•e^x•sin(x)+4•D•e^x•cos(x) = e^x•(sin(x)+cos(x))

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

-4A  = 0

2A  = 0

-2A -4B + 4C + 2D  = 1

4A + 2B + 2C + 4D = 1

Решая ее, находим:

A = 0;B = ^-1/₁₀;C = 0;D = ³/₁₀;

Частное решение  имеет вид:

y^* = e^x((0x -¹/₁₀)cos(x) + (0x + ³/₁₀)sin(x))

или

y^* = e^x((-¹/₁₀)cos(x) + (+ ³/₁₀)sin(x))

Таким образом, общее решение дифференциального  уравнения имеет вид:

 

 

4. Найти все частные производные 1-го порядка:

а) ,

б) ,

в) .

Решение:

Решение:

а)

б)

в)