Контрольная работа по "Математике"

Задача 1. Партия деталей, среди которых 2% (0,02) нестандартных (дефектных), поступила на проверку. Технология проверки такова, что с вероятностью 0,92 обнаруживается дефект (если он есть), и существует ненулевая вероятностьР ₀ = 0,02 того, что стандартная деталь будет признана дефектной.

Требуется:

1. Найти вероятность того, что случайно выбранная из партии деталь будет признана дефектной.
2. Случайно выбранная из партии деталь признана дефектной. Какова вероятность того, что на самом деле деталь стандартна?

Решение

 

1. Рассмотрим событие А = {случайно выбранная из партии деталь будет признана дефектной}. С событием А тесно связаны две гипотезы (события) В ₁ и В₂:В₁ = {поступившая на проверку деталь дефектна на самом деле},

В₂ = {поступившая на проверку деталь на самом деле стандартна}.

Безусловные априорные вероятности легко  вычисляются по классической формуле:Р (В₁) = [отношение числа дефектных деталей к общему числу деталей] = 0,02,Р (В₂) = 1 – Р (В₁) = 0,98.

Условные  вероятности заданы в условии задачи:

.

Применяя  формулу полной вероятности, получим:

 

2. По формуле Байеса:

Ответ:

 

Задача 2. Задана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти:

а) f (х) – плотность распределения случайной величины Х;

б) построить  графики функций F (х) и f (х);

в) математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х) случайной величины.

Решение

 

а) Имеем:

б) Строим графики:

 

х	0	1	2
F(x)	0	0,25	1

 

 

 

 

 

       0,25

 

 

 

х	0	1	2
f(x)	0	0,5	1

 

 

 

 

 

 

 

 

в) Имеем:

 

ПоэтомуD(Х) = М(Х²)– (М(Х))² = 2 – (1,333) ²  =  0,223.

 

Ответ: М(Х) = 2; D(Х) = 0.

 

 

 

Интервалы загрязнения	Сумма частот вариант интервала
0-5	20
5-10	10
10-15	30
15-20	28
20-25	12

Задача 3.Произведено 100 выборочных измерений уровня загрязнённости некоторого района вредными для здоровья выбросами некоторого комбината. Построить гистограмму частот уровня загрязнённости по данному распределению выборки:

Решение

 

Найдем длину любого из интервалов  h=5.

Плотность частот:

На оси  абсцисс откладываем все частичные  интервалы, а на этих интервалах достраиваем  прямоугольники высотой, равной соответствующей  плотности частоты:

Замечание: сумма площадей всех прямоугольников равна 100.

Вывод:

Сравнивая гистограмму с кривой Гаусса, отмечаем, что возможно два варианта:

1. Распределение загрязнения в данном районе не является нормальным
2. Если распределение нормально, то не хватает данных обследования. Поэтому необходимо при повторном обследовании произвести большее количество замеров на данной территории случайным образом.

 

 

 

Задача 4.

Найти:

1) выборочную  среднюю длину объекта;

2) выборочную  и исправленную дисперсии ошибок  прибора.

Решение

 

1) По данным измерений составим  распределение выборки:

 

 

1) Имеем:  объём выборки n = 10, выборочная средняя

2) По определению   выборочная дисперсия: 

Найдем исправленную дисперсию:

Ответ:

 

 

Задача 5. Найти коэффициент корреляции, если закон распределения двумерной случайной величины задан так:

 

Решение

 

Находим законы распределения составляющих X и Y:

Находим математические ожидания составляющих X и Y:

.

Находим дисперсии составляющих X и Y:

Поэтому

Далее найдём математическое ожидание произведения случайных величин X и Y:

.

Теперь  находим ковариацию и коэффициент  корреляции:

Ответ. Коэффициент корреляции положительный , то есть случайные величины X и Y связаны положительной корреляцией, не близкой к нулю, что не говорит о слабой зависимости случайных величин.