Контрольная работа по "Математике"

Контрольная работа № 2

 

Задание  1. Вероятностно-статистический  анализ  материалов  наблюдений (проверка  согласия  эмпирического  распределения  с  нормальным)

 

 

Исходные  данныe :`

 

-0.75	1.37	-0.40	-0.11	0.75	1.63	1.30	0.50	0.80	-1.90
0.18	-1.63	1.01	0.43	-0.48	0.09	-0.37	1.28	0.64	0.73
0.25	-1.33	1.88	-1.22	1.24	1.47	-0.06	0.25	0.38	-1.54
0.51	0.45	-0.08	1.77	1.22	0.47	0.16	0.23	2.37	0.54
0.53	0.61	-1.00	0.56	-0.12	-0.70	-0.44	-0.15	-0.06	1.27
-2.02	0.97	0.43	0.26	-0.32	-1.46	-0.62	-1.21	0.51	0.29
-0.43	0.40	0.34	-0.12	0.03	1.18	-1.36	0.31	-0.12	-1.52
0.98	0.16	-1.42	-0.54	-0.28	0.92	0.47	0.07	0.65	-2.42
0.62	-0.29	-0.57	0.75	-0.54	-0.40	-0.53	0.87	-0.29	-1.05
1.31	0.38	-0.43	2.12	-0.06	-0.51	0.28	0.12	-0.53	0.00

 

План выполнения задания

 

1. Преобразовать  исходную  выборку  в  статистический  группированный   ряд,  построить  график  эмпирических  частот  (многоугольник  распределения)  и  выдвинуть  гипотезу  о  законе распределения  генеральной  совокупности. Выдвинуть  гипотезы  об  асимметрии  и  эксцессе  кривой  распределения.
2. Вычислить  теоретические  (гипотетические)  частоты  для  каждого  интервала  группированного  ряда.  Построить  график  теоретических  частот  и  вычислить  эмпирическое значение  критерия  согласия  Пирсона.
3. Проверить  все  выдвинутые  гипотезы  и  дать  заключение  по  результатам  анализа.

 

Решение

 

1.

  -  объем  выборки;

  -  максимальный  элемент   выборки; 

  -  минимальный элемент  выборки;

  -  размах  выборки;

Примем   k = 10   -  число интервалов  (групп).

 Вычислим  С =R/ k = 0.48 - длина  интервала  (группы).

 

По  данным  статистического  группированного  ряда  вычислим:

а) статистическую оценку    математического ожидания  случайной величины - среднее арифметическое:

  = ;

б) несмещенную статистическую  оценку    среднего  квадратического  отклонения :

 ;

в) статистические  оценки  и центральных моментов третьего и четвертого порядков соответственно:

=

 = ;

г) оценку асимметрии кривой распределения

и  выдвинем  нулевую  гипотезу  Н₀  об асимметрии:

Н₀ = {

};

д) оценку    эксцесса  кривой  распределения

и  выдвинем  нулевую  гипотезу  Н₀  об  эксцессе:

Н₀ ={

= 0}.

Найдем:

а) оценку среднего  квадратического отклонения  асимметрии:

б) оценку  среднего квадратического отклонения  эксцесса:

Результаты вспомогательные  вычисления  поместили  в  графы  6  -  10  таблицы  1.

Вычисление  эмпирических  характеристик

Таблица  1

№№ интер.	Границы интерв.	Фиксация частот в интервалах
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	-2.42
1		êê	2	-2.18	-4.36	-2.266	10.270	-23.272	52.736
	-1.94
2		| | | |	4	-1.70	-6.80	-1.786	12.760	-22.789	40.704
	-1.46
3		| | | | | | | |	8	-1.22	-9.76	-1.306	13.645	-17.820	23.273
	-0.98
4		| | | | | | | | |	9	-0.74	-6.66	-0.826	6.140	-5.072	4.189
	-0.50
5		| | | | | | | | | | | | | | | | | | | |	20	-0.26	-5,2	-0.346	2.334	-0.828	0.272
	-0.02
6		| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |	22	0.22	4.84	0.134	0.395	0.053	0.007
	0.46
7		| | | | | | | | | | | | | | | | | |	18	0.70	12.6	0.614	6.786	4.167	2.556
	0.94
8		| | | | | | | | | | |	11	1.18	12.98	1.094	13.165	14.403	15.756
	1.42
9		| | | |	4	1.66	6.64	1.574	9.910	15.598	24.552
	1.90
10		| |	2	2.14	4.28	2.054	8.438	17.332	35.600
	2.38
			100		8.56		83.902	-18.228	199.652

График теоретических  и эмпирических частот

 

2.На  основе   метода  моментов,  т.е.  полагая параметры М_X ( математическое ожидание)  и ( среднее квадратическое  отклонение)  теоретического   распределения,  равными их  статистическим  оценкам  (   и ), выполним расчет теоретических  частот  n_i     (i = 1, 2, … , k ) попадания случайной величины  во  все намеченные  интервалы по  формуле

n_i = p_i n ,

где :  p_{i =} P ( )  =    -  вероятность попадания случайной величины Х   в i-й интервал;

 

;  

-нормированные центрированные  значения  границ  интервалов (i =1, 2, .., k )

- функция нормального распределения  .

Вычисления поместим в графы   1 -  6  Таблицы  2 .

Таблица  2

 

№ интерв.	Границы интерв.
1	2	3	4	5	6	7	8	9
	-2.42	-2.72	0.0033
1				0.0106	1,1	2	0.9	0.74
	-1.94	-2,20	0.0139
2				0.0326	3.3	4	0,7	0.15
	-1.46	-1.68	0.0465
3				0.0765	7,7	8	0,3	0.01
	-0.98	-1,16	0.1230
4				0.1381	13.8	9	-4.8	1,67
	-0.50	-0.64	0.2611
5				0.1911	19,1	20	0,9	0.04
	-0.02	-0.12	0.4522
6				0.2032	20.3	22	1.3	0,08
	0.46	0.40	0.6554
7				0.1647	16,5	18	1,5	0.14
	0.94	0.93	0,8238
8				0.1027	10,3	11	0,7	0.05
	1.42	1.45	0.9265
9				0.0491	4.9	4	-0.9	0.17
	1.90	1.97	0.9756
10				0.0180	1,8	2	0.2	0.02
	2.38	2.49	0.9936
							=	3.07

 - эмпирическое значение критерия согласия Пирсона (критерия c²);

-  критическое  значение  критерия   Пирсона,  полученное  для  доверительной вероятности (т.е. на  уровне  значимости  =5%)  и числа степеней  свободы из  таблицы приложения 2.

3. Сводная  таблица  проверки  гипотез    Таблица  3

№№ гипотез	Нулевая гипотеза  Н0	Условная запись  нулевой  гипотезы	Проверка   гипотез		Заключение  по гипотезе
1	о нормальности  распределения	}	3.07	14.1	Гипотеза  не отвергается
2	о незначимости асимметрии		0.233	0.73	Гипотеза  не отвергается
3	о незначимости эксцесса		0.225	1.46	Гипотеза  не отвергается

Вывод:  Анализ результатов проверки статистических гипотез позволяет сделать вывод о том, что рассматриваемая случайная величина подчиняется нормальному закону распределения с параметрами: математическое ожидание   M_X =0.086, среднее квадратическое  отклонение s_X= 0.921 на уровне значимости q = 0.05.

Задание  2. Определение корреляционной  зависимости  между  рядами  измерений (Регрессионный анализ данных).

Задача.  Даны  значения   x_i  и y_{i ,} являющиеся  результатами  наблюдений  над  случайными  величинами   X  и   Y   соответственно.

1. Вычислить  оценку коэффициента корреляции между X  и   Y   и определить его значимость и надежность;
2. Получить уравнение регрессии Y на X (формулу прогнозов) и оценить точность  регрессии (точность прогнозов);
3. Сделать вывод.

17

№№п/п	x i ,(км)	yi , (см)	№№п/п i	x i ,(км)	yi , (см)i
1	7.0	5.5	11	6.2	5.0
2	9.2	6.5	12	8.5	5.0
3	8.5	7.0	13	6.5	6.5
4	7.4	4.5	14	2.0	2.0
5	5.6	2.5	15	5.3	5.0
6	3.0	3.5	16	8.5	5.0
7	3.5	2.5	17	4.5	2.5
8	8.1	6.0	18	6.7	4.0
9	7.2	7.0	19	4.7	3.0
10	5.7	5.5	20	7.5	5.5

 

 

План  выполнения  задания.

1. Построить поле корреляции  (точечную  диаграмму),  изобразив  в  прямоугольной  системе  координат  точки  с  координатами, соответствующими  каждой паре наблюдений
2. На основании поля корреляции сделать предположение о наличии между случайными величинами X и Y корреляционной зависимости и о форме этой зависимости (линейная или нелинейная).
3. Вычислить оценки математических ожиданий случайных величин X и Y - средние арифметические и .
4. Вычислить оценки средних квадратических отклонений и .
5. Вычислить оценку коэффициента корреляции  - выборочный коэффициент корреляции.
6. Проверить гипотезу о не значимости коэффициента корреляции.
7. Оценить надежность коэффициента корреляции ( критерий  Фишера).
8. Получить уравнение регрессии случайной величины Y на X. Нанести прямую регрессии на график.
9. Оценить точность регрессии.
10. Выполнить точечную и интервальную оценку точности параметров уравнения регрессии
11. Сделать общий вывод  по  результатам  анализа.

Решение

1.Поле корреляции

На основании поля корреляции можно предположить существование  между величинами Х и Y линейной корреляционной зависимости с функцией регрессии

Таблица  1

 

№п/п i							( ( )
1	7.0	5.5	0,72	0,79	0,5184	0,6241	0,5688	5,13	0,01369
2	9.2	6.5	2.92	1,79	8.5264	3,2041	5,2268	6,43	0,0049
3	8.5	7.0	2,22	2,29	4.9284	5,2441	5.0838	6,02	0,9604
4	7.4	4.5	1,12	-0,01	1,2544	0,0001	-0,0112	5,37	0,4489
5	5.6	2.5	-0,68	-2.21	0,4624	4,8841	1,5028	4,30	3,24
6	3.0	3.5	-3,28	-1.21	10.7584	1,4641	3,9688	2,77	0.0729
7	3.5	2.5	-2,78	-2,21	7.7284	4,8841	6.1438	3,07	0.3249
8	8.1	6.0	1.82	1.29	3,3124	1,6641	2,5413	5,78	0,0484
9	7.2	7.0	0.92	2,29	0.8464	5,2441	2,3478	5,25	3.0625
10	5.7	5.5	-0.58	0,79	0,3364	0,6241	-04582	4,36	1,2996
11	6.2	5.0	-0,08	0,29	0,0064	0,0841	-0,0232	4,66	0,1156
12	8.5	5.0	2.22	0.29	4.9284	0,0841	0,6438	6,02	1,0404
13	6.5	6.5	0.22	1,79	0,0484	3,2041	0,3938	4,84	2,7556
14	2.0	2.0	-4.28	-2,71	18.3184	7,3441	11,5988	2,18	0,0324
15	5.3	5.0	-0.98	0,29	0,9604	0,0841	-0,2842	4,13	0,7569
16	8.5	5.0	2,22	0,29	4.9284	0,0841	0,6438	6,02	1,0404
17	4.5	2.5	-1,78	-2,21	3.1684	4,8841	3,9338	3,66	1,3459
18	6.7	4.0	0,42	-0,71	0,1764	0,5041	-0,2982	4.95	0,9025
19	4.7	3.0	-1,58	-1,71	2, 4964	2,9241	2,7018	3,77	0,5929
20	7.5	5.5	1,22	0,79	1,4884	0,6241	0.9638	5,43	0.4449
	125.6	94.2	0	0	75,192	47.658	46.754		18.65