Контрольная работа по "Математике"

5

Задание 1. Бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях:

а) сумма числа очков не превосходит 7;

б) произведение числа очков не превосходит 16.

Решение:

а) Составим таблицу элементарных событий для суммы числа очков на верхних гранях двух кубиков.

Всего элементарных событий 36, из них благоприятных (выделены жирным) ровно 15. Вероятность того, что сумма числа очков не превосходит 7, равна .

б) Составим таблицу элементарных событий для суммы числа очков на верхних гранях двух кубиков.

Всего 26 благоприятных элементарных событий из 36, вероятность того, что произведение числа не превосходит 16, равна .

Ответ: а) 0,417; б) 0,722.

Задание 2. В урне содержится 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется:

а) 3 белых шаров;

б) меньше, чем 3 белых шара;

в) хотя бы один белый шар.

Решение:

Всего в урне 5 + 6 = 11 шаров. 5 шаров из 11 можно выбрать способами.

а) Благоприятных способов – вытащено 3 белых шаров (из 6) и 0 черных (из 5) – ровно

,

искомая вероятность равна .

б) Так как мы нашли вероятность того, что окажутся вытащенными ровно 3 белых шара, и больше их быть не может, то искомая вероятность равна .

в) Сначала найдем вероятность того, что не вытащим ни одного белого шара. Для такого исхода благоприятных способов – вытащено 0 белых шаров (из 6) и 5 черных (из 5) – ровно

,

вероятность выбрать ноль белых шаров равна . То есть искомая вероятность равна 1 – 0,0022 = 0,9978.

Ответ: а) 0,043; б) 0,957; в) 0,9978.

Задание 3. Слово «СТАТИСТИКА» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке слова «ТИСКИ».

Решение:

Вероятность того, что первая случайно взятая буква из 10 будет «т», равна (букв «т» в слове «СТАТИСТИКА» три, всего букв десять). Вероятность того, что вторая наугад взятая буква из девяти оставшихся будет «и», с учетом того, что первая должна быть «т», по теореме умножения зависимых событий равна . Продолжая рассуждения таким образом, получаем вероятность вытащить буквы в порядке слова «ТИСКИ»:

.

Ответ: 0,000397.

Задание 4. Электролампы изготавливаются на трех заводах. Первый производит 45% общего количества электроламп, поступающих в магазин, второй – 40% и третий – 15%. Продукция первого завода содержит 90% стандартных ламп, второго – 80%, а третьего – 95%. Найти вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется стандартной.

Решение:

Воспользуемся теоремой о полной вероятности:

.

По условию

;

;

тогда

.

Ответ: 0,8675.

Задание 5. На складе готовой продукции в одинаковых по виду мотках находится пряжа, изготовленная тремя цехами фабрики. Производительность цеха № 1 в 3 раза больше производительности цеха № 2 и в 2 раза больше производительности цеха № 3. Среди продукции 1-го цеха пряжа первого сорта составляет 90 %, 2-го цеха – 75 %, а 3-го цеха – 80%. Найти вероятность того, что наудачу взятый со склада моток пряжи, оказавшийся первого сорта, изготовлен в цехе № 3.

Решение:

Введем полную группу гипотез:

= (Моток пряжи поступил с 1 цеха фабрики),

= (Моток пряжи поступил с 2 цеха фабрики),

= (Моток пряжи поступил с 3 цеха фабрики).

Найдем вероятности гипотез по классическому определению вероятности, учитывая, что производительность цеха №1 в 3 раза больше производительности цеха №2 и 2 раза больше производительности цеха №3:

, , .

Введем событие = (Моток пряжи первого сорта). По условию даны вероятности

, , .

Нужно найти апостериорную вероятность - вероятность того, что наудачу взятый со склада моток пряжи, оказавшийся первого сорта, изготовлен в цехе №3. Используем формулу Байеса. Получаем:

.

Ответ: 0,258.