Контрольная работа по "Математике"

Задание 1.

Дана задача линейного программирования

при ограничениях:

      

Графическим методом найти оптимальные решения при стремлении целевой функции к максимальному и минимальному значениям.

Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений

Значения	9 вариант
	3
	0
	-3
	2
	-6
	2
	1
	14
	3
	-4
	0
	0
	1
	6

 

 

Решение:

Найдем область допустимых решений (ОДР). Для этого построим граничные прямые:

Определим полуплоскости, определенные неравенствами системы (подставим т. О (0, 0)) для (1) неравенства полуплоскость лежит ниже прямой l1, для (2) неравенства полуплоскость лежит ниже прямой l2, для (3) неравенства возьмем т. F (0, 1), тогда полуплоскость лежит выше прямой l3, для (4) неравенства полуплоскость лежит ниже прямой l4. Пересечение всех полуплоскостей дает область BDGH.

Строим вектор-градиент целевой функции и одну из линий уровня: , это будет ось OY.

Будем перемещать линию уровня в направлении вектора вверх и вниз до тех пор, пока линия уровня и ОДР не будут иметь одну общую точку.

Получим 2 точки: т. B(0,0) и т. H= l2 l3

т.Н (5,09; 3,82)

Следовательно, в т. B(0,0) функция Z достигает min.

Z (В) = 3*0 = 0

В т. Н (5,09; 3,82) функция Z достигает max: Z (Н) = 3*5,09 = 15,27.

 

 

Задание 2.

Фирма изготовляет два вида красок для внутренних (В) и наружных (Н) работ. Для их производства используют исходные продукты: пигмент и олифу. Расходы исходных продуктов и максимальные суточные запасы указаны в таблице.

Расходы и суточные запасы исходных продуктов

Исходный продукт	Расход  продуктов на 1 т краски		Суточный запас, т
	Краска Н	Краска В
Пигмент
Олифа

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску для наружных (внутренних) работ никогда не превышает т в сутки. Цена продажи 1 т краски для наружных работ ден. ед.

Какое количество краски каждого вида должна производить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимален?

Значения коэффициентов условий задачи

Значения	Вариант 9
	2
	3
	1
	1
	7
	2
	1
	10
	0
	1
	6

 

Примечание. Если по условию задания спрос на краску Н (В) работ не превышает т в сутки, то в математической модели задачи следует принять, что коэффициент системы ограничений ( ) равен 1 (0), а при неизвестном значении краски для В (Н) работ ( ) равен 0 (1).

Решение:

Введем обозначения: Пусть х1 – количество краски Н, х2 – количество краски В, тогда составим математическую модель задачи:

Решим ее графическим методом:

Строим область ОДР:

                                 

Определим полуплоскости, подставив т. О (0, 0). В результате получим область АВСEД.

Строим вектор-градиент

 и одну из линий уровня:

 

х1	0	3
х2	0	-2

  .

 

 

Будем перемещать ее вверх в направлении вектора . Получим точку C=l1 l2

В этой т. C функция Z достигает max Z(C)=2*1+3*6=20.

Ответ: чтобы доход был max, нужно производить краску В 1 т. в сутки, краску H 6 т. в сутки.

 

Задание 3.

Составить математическую модель и решить задачу симплексным методом.

В производстве пользующихся спросом двух изделий, А или В, принимают участие 3 цеха. На изготовление одного изделия А первый цех затрачивает час, второй цех - час, третий цех - час. На изготовление одного изделия В первый цех затрачивает час, второй цех - час, третий цех - час. На производство обоих изделий первый цех может затратить не более час, второй цех не более час, третий цех – не более час.

От реализации одного изделия А фирма получает доход руб., изделие В - руб.

Определить максимальный доход от реализации всех изделий А и В.

Значение коэффициентов условия задачи

Значения	Вариант 9
	7
	7
	8
	5
	2
	1
	347
	300
	350
	11
	7

Решение:

Введем обозначения:

Пусть x1 – количество изделий А, x2 – количество изделий В.

Изделие/цех	I	II	III
A	7x1	7x1	8x1
B	5x2	2x2	x2

 

Тогда получаем систему ограничений

Перейдем к каноническому виду системы ограничений:

Строим таблицу:

БП		11	7	0	0	0	0
		х1	х2	х3	х4	х5	вi
0	х3	7	5	1	0	0	347	I
0	х4	7	2	0	1	0	300	II
0	х5	8	1	0	0	1	350	III
Δ		-11	-7	0	0	0	0

 

т.к. среди Δ есть отрицательные значения, то решение можно улучшить. Выбираем Δ=-11, это первый столбец, найдем разрешающую строку:

Это вторая строка.

Получим разрешающий элемент 7. Построим новую таблицу. Для этого II строку делим на 7, получим II-н (новую строку). Для получения I-н нужно из I строки – II-н*7. Для получения III-н нужно из III строки – II-н*8.

Получим следующую таблицу:

БП		11	7	0	0	0	0
		х1	х2	х3	х4	х5	вi
0	X3	0	3	1	-1	0	47
11	X1	1	2/7	0	1/7	0	42 6/7
0	X5	0	-1 2/7	0	-1 1/7	1	7 1/7
Δ		0	-3 6/7	0	1 4/7	0	471 3/7

 

т.к. среди Δ есть отрицательные значения, то решение можно улучшить. Выбираем Δ=-3 6/7, это второй столбец, найдем разрешающую строку:

Это первая строка.

Получим разрешающий элемент 3. Построим новую таблицу. Для этого I строку делим  на 3, получим I-н (новую строку). Для получения II-н нужно из II строки – I-н*2/7. Для получения III-н нужно к III строке + I-н* 
1 2/7.

Получим следующую таблицу:

 

 

 

БП		11	7	0	0	0	0
		х1	х2	х3	х4	х5	вi
7	X2	0	1	1/3	- 1/3	0	15 2/3
11	X1	1	0	-0	1/4	0	38 3/8
0	X5	0	0	3/7	-1 4/7	1	27 2/7
Δ		0	0	1 2/7	2/7	0	531 6/7