Контрольная работа по "Математике"

Контрольная работа №1

Вариант 10

1.     Вычислить периметр прямоугольника, если его стороны равны
25,4 см и 16,86305 см.

Решение

P=2*(a+b) , где Р – периметр, а – ширина, b-высота.

P=2*(25,4 + 16,86305)= 84,5261 см

Ответ P=84,5261 см

2. Решить уравнения:   

а.              36 у4 - 37 у2 +1=0

Решение

Произведем замену z=у2

Тогда

36 z2 - 37 z +1=0

Решим полученное квадратное уравнение

Теперь решаем  уравнения:

и 

Они имеют соответственно корни:

,  ,

Эти числа являются  корнями исходного уравнения.

Ответ ,  ,

б.              u3-3u2 - 4u + 12 = 0

Решение

Ищем первый корень перебором чисел 

Тогда делим левую часть этого  уравнения на двучлен  u – 2,  и получаем:

Теперь, решая квадратное уравнение:

находим оставшиеся два корня:  u2 = 3 и  u3 = -2 .

Ответ ,  u2 = 3 и  u3 = -2

3. Даны точки М (0;2), N(2;l), C(4;-5), D(l;2). Найти скалярное
произведение векторов MN и CD.

Решение

Найдем координаты векторов и

Ответ

4. При каких значениях "х" определитель равен 12 ?

Решение

, 

Ответ , 

5. Найти предел:

Решение

А)

Б)

6. Вычислить:

Решение

7. Решить уравнения

А)

Решение

Ответ

Б)

Решение

Ответ

8. Упростить выражение

Решение

9. Решить уравнение:

Решение

Пусть z = cos x., тогда

Теперь решаем  уравнения:

Т.к. ,  то корней нет

Оно имеют соответственно корни:

,  , где

Эти числа являются  корнями исходного уравнения.

Ответ , 

Контрольная работа №2

Вариант 10

1. Найти производные функций.  Найти f,(-l).

А)

Решение

Б)

Решение

2. Вычислить скорость движения тела в момент t=2c

Решение

м/с

Ответ скорость движения тела в момент t=2c равна 1 м/с

3. Постройте график функции:

Решение

1). Функция y- многочлен, а у всех многочленов область определения -- вся вещественная ось

2). Многочлены бывают чётными функциями, если содержат только чётные степени переменного , и нечётными функциями, если содержат только нечётные степени . Функция у является нечетной.

3). Вертикальных асимптот график не имеет, поскольку область определения не имеет граничных точек.

4). Поскольку многочлен имеет степень 3, то его график не имеет наклонных или горизонтальных асимптот.

5). Пересечение с осью OY найдём, вычислив значение y при x=0: имеем

.

Для нахождения пересечений графика с осью OX следует решить уравнение

График пересекает ось ОХ в т. (2;0) и (-1;0)

6) Производная данной функции равна

Найдём интервалы возрастания функции, решая неравенство

.

Его решением служит интервал , на этом интервале функция возрастает.

Интервалы убывания задаются обратным неравенством, то есть

Значит, решением неравенства служит объединение интервалов и.

На каждом из этих интервалов функция убывает.

В точке возрастание функции сменяется убыванием, значит, - точка локального максимума. Значение функции в этой точке равно

В точке убывание функции сменяется возрастанием, значит,  - точка локального минимума. Значение функции в этой точке равно

Как мы видим, на участке возрастания  значения функции изменяются от 4 до 0 и остаются положительными.

7)  Вторая производная функции равна

Для отыскания интервала выпуклости решим неравенство , то есть , откуда . Значит, функция выпукла на интервале. Обратное неравенство даёт нам интервал вогнутости; очевидно, это. В точке 0 направление выпуклости меняется, следовательно, 0 - это точка перегиба. Значение функции в этой точке равно

8). С учётом предыдущих семи пунктов строим график функции

4. Найти приращение функции у=lnx при изменении аргумента х от 1 до 1,002.

Решение

Ответ

5. Найдите интегралы

a)

б)

6. Вычислите определенные интегралы:

А)

Б) 7. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями , , , y=0

Решение

кв.ед.

Ответ кв.ед.

8. Через основание АС равнобедренного треугольника ABC проведена плоскость а образующая с плоскостью треугольника угол 60°.Угол А треугольника ABC равен 30°. Вершина В удалена от плоскости а на см. Вычислить площадь проекции треугольника ABC на плоскость а.

Решение

BD=

По теореме синусов

Найдем HD

Так как треугольник равнобедренный и угол А=30 то углы А,С треугольника ACD=30, угол D=120 и высота HD делит треугольник ACD на пополам.

Рассмотрим треугольник CDH

НD=4

Найдем сторону CD по теореме синусов

По двум сторонам и углу между ними найдем третью сторону:

кв.см

Ответ  32 кв.см

9. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 8см и 15 см, и образуют угол в 60 меньшая диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол в 30".Определить объем этого параллелепипеда.

Решение

Основанием параллелепипеда является ромб, стороны которого АВ= 8см и AD=15 см, и образуют угол  60 градусов

Проведем диагональ ромба  BD

По двум сторонам и углу между ними найдем третью сторону:

Проведем  теперь меньшую диагональ параллелепипеда – B’D

Рассмотрим получившийся треугольник. Так как прямой параллелепипед то треугольник у нас прямоугольный.

По теореме синусов

Найдем сторону BB’

- высота параллелепипеда

Объем

кВ.см

куб.см

10. Осевое сечение цилиндра-квадрат, диагональ которого равна см.Вычислить объем и боковую поверхность цилиндра.

Решение

B’A=

По теореме Пифагора находим АВ, т.к. АВВ’ – прямоугольный треугольник , то

см – является высотой цилиндра

Найдем боковую поверхность, т.е. ее площадь

Так как осевое сечение – квадрат, то R=

кв.см

Объем цилиндра определяется по формуле

куб.см

Ответ ,