Контрольная работа по "Математике"

   Контрольная работа 2 

   Задания по теме 2.1. «Случайные события».

10. а) Брошены четыре игральные кости. Найти вероятности следующих событий:

- на каждой из  выпавших граней  появится пять  очков;

Решение. Пусть событие состоит в выпадении пяти очков. Тогда должно произойти четыре события : .

     Вероятность выпадения 5 очков - . Следовательно,

     - на всех выпавших  гранях появится  одинаковое количество очков.

Решение. Пусть на первом кубике выпадёт любое количество очков. Тогда на остальных трёх также должно выпасть то же количество очков, т.е. на трёх кубиках будет то же самое, что на первом. Следовательно,  

б) Два из четырех  независимо работающих устройства отказали. Найти вероятность  того, что отказали первое и второе устройство, если вероятности  отказа первого, второго, третьего и четвертого устройств соответственно равны: 0,1; 0,2; 0,3; 0,4.

Решение. Пусть - отказ -го устройства, а - это устройство продолжает успешно работать. Тогда сумма всех событий, которые соответствуют поломке пары устройств, есть: . Вероятность этой суммы можно вычислить по формуле:

Из этих событий благоприятно только . Следовательно, по формуле Бейеса,  

в) При приеме партии изделий  подвергается проверке 20% изделий. Условие приемки – наличие брака в выборке  менее 2%. Вычислить вероятность того,  что партия из  5000  изделий,  содержащая 5% брака, будет принята.

Решение. Проверено будет 1000 изделий. Среди этих изделий должно быть от нуля до 20 бракованных изделий.

Вероятность того, что выбранное наугад изделие  будет бракованным, 0.05, исправным  – 0.95. Пусть  - число бракованных деталей. Тогда

Заметим, что при решении  задачи мы предполагали, что вероятности независимые. Это будет не так, если проверенные детали не возвращаются обратно. 

г) В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены  три детали. Найти  вероятность того, что среди извлеченных  деталей:

- нет бракованных;

Решение: Пусть - в первый раз извлекли исправную деталь, - во второй, - в третий. Эти события зависимые, поэтому вероятности извлечь три детали есть

- нет годных.

Решение: Пусть - в первый раз извлекли неисправную деталь, - во второй, - в третий. Эти события зависимые, поэтому вероятности извлечь три детали есть

д) Для участия в  студенческих отборочных соревнованиях выделено из 1-й группы 4 студента, из 2-й – 5, из  3-й -  4 студентов. Вероятность  того, что отобранный студент из 1-й, 2-й, 3-й  группы попадет в  сборную института, равны соответственно 0,8; 0,6; 0,7. Наудачу выбранный участник соревнования попал в сборную. К какой из этих трех групп он вероятнее всего принадлежит?

Решение. Вычислим полную вероятность попадания в сборную для одного отдельно взятого студента. Пусть событие - вероятность того, что наудачу выбранный студент принадлежит к -ой группе, - что он прошёл в сборную.

. Соответственно по формуле  Бейеса,

Наиболее вероятно, что студент принадлежит к  первой сборной.

 

   Задания по теме 2.2. «Повторение  независимых испытаний».

   10.   а) Процент отсева среди студентов первого курса составляет 12%. Найти вероятность того, что из 1000 студентов будет отчислено от 100 до 140 (включительно).

Решение. Всего 1000 студентов. Из них будет отчислено от 100 до 140 человек.

Вероятность того, что студент будет отчислен, 0.12. Пусть - количество отчисленных. Тогда

 

б) Мастерская по гарантийному ремонту телевизоров  обслуживает 2000  абонентов. Вероятность того, что купленный  телевизор потребует  гарантийного ремонта, равна 0,15. Предполагая, что событие, вероятность которого 0,9973, достоверно, найти границы числа телевизоров, которые потребуют ремонта.

Решение. Всего 2000 абонентов. Из них ожидаемое число тех, которые потребуют ремонта, 300. Следовательно, . Отсюда следует, что , или .

Таким образом, число телевизоров, которые  потребуют ремонта, составит от 252 до 348.

 

в) На  автобазе имеется 15 автомашин.  Вероятность  выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найти  вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 12-и автомашин.

Решение. Всего 15 машин. Из них будет на линии от 12 до 15.

Вероятность того, что машина выйдет на линию, 0.8. Пусть  - количество вышедших на линию автомашин. Тогда

 

   Задание по теме 2.3. «Случайные величины».

   Производится  п независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р. Построить ряд распределения для случайной величины Х – число появлений события А в п опытах. Найти ее математическое ожидание и дисперсию.

   Решение. Применим схему Бернулли,

 

Задание по теме 2.4. «Вариационные  ряды и выборочный метод».

   Заданы  две выборки по годам. Найти их средние и дисперсии.

   Решение.

   Аналогично, для показателя 2 получаем:

 

Задания по теме 2.5. «Введение  в корреляционно-регрессионный  анализ».

   Определите  вид и параметры тренда в ряде уровней преступности.

   Решение. Будем считать, что тренд линейный, т.е. преступность y изменяется в зависимости от года линейно.

   Найдём  средние величины, дисперсии и  коэффициент коореляции

,

, ,

Следовательно, мы можем  построить уравнение регрессии  т.е.

Или, после небольших  преобразований,

Можно открыть скобки, хотя большого смысла это не имеет,

Таким образом, преступность растёт с течением времени.