Контрольная работа по "Теории вероятности"

Часть I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Задание №1

Рабочие производят вскрытие кабельного канала. При этом они четыре раза задевают кабельную  линию. Вероятность выхода из строя линии при первом задевании P₁=0,1; при втором Р₂=0,5; при третьем Р₃=0,6; при четвертом Р₄=0,9.

1. Необходимо найти вероятность того, что в результате этих четырех задеваний кабельная линия будет повреждена:

а) ровно один раз;

б) хотя бы один раз.

 2. Приведите формулу полной вероятности (её вывод).

Решение:

1.

  а) Рассмотрим событие А- ровно одно повреждение.

Это событие может  осуществиться несколькими способами, т.е. распадаются на несколько несовместных вариантов:

Может быть повреждение  при первом зацеплении, а второе, третье и четвертое зацепление обошлось без повреждений.

Может быть повреждено при втором зацеплении, а первое, третье и четвертое обошлось без  повреждений

Может быть повреждено при третьем зацеплении, а первое, второе и четвертое обошлось без повреждений

Может быть повреждено при четвертом зацеплении, а первое, второе и третье обошлись без повреждений.

Следовательно:

 

где: А₁ А₂ А₃ А₄ - повреждения при 1-ом, 2-ом, 3-ем и 4-ом зацеплениях;

- противоположные  события.

 

 

 

Применяя теоремы  сложения и умножения вероятностей и пользуясь 

свойством противоположных событий, находим:

)=

б) Рассмотрим событие В- хотя бы одно повреждение кабеля. Пользуясь тем же приемом, который был применен выше и теми же обозначениями, можно представить событие В- в виде суммы несовместных вариантов, но такой путь решения задачи достаточно трудоемкий. Здесь целесообразно от прямого события В перейти к противоположному:

 

где: –    ни одного повреждения кабеля

По теореме  умножения:

 

Следовательно:

=1-0,018=0,982

 Формула полной вероятности

 Формула полной  вероятности является следствием  обеих основных теорем- теоремы  сложения и теоремы умножения  вероятностей.

Пусть требуется  определить вероятность некоторого события А, которое может произойти  с одним из событий Н₁, Н₂, ..., H_n, образующих полную группу несовместных событий. Будем называть эти события гипотезами.

Т.к. гипотезы Н₁, Н₂, ..., Н_n, образуют полную группу, то событие А может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез:

А = Н₁А + Н₂А + ... + Н_nА

Т.к. гипотезы    Н₁, Н₂, ..., Н_n несовместны, то  и комбинации  

Н₁А + Н₂А + ... + Н_nА также не совместны. Применяя к ним теорему сложения вероятностей, получим:

…      
 

Применяя к событию Н_iA теорему умножения, получим:

  …

или:

 

 

Полученная формула и есть формула  полной вероятности.

Задание №2

Имеется главная понижающая подстанция (ГПП) с пятью отходящими фидерами к потребителям (W). Потребители имеют номинальную нагрузку: W_i- 35 кВт; W₂- 25 кВт; W₃- 15 кВт; W₄- 5 кВт; W₅- 14 кВт. Вероятность включенного состояния потребителей соответственно равна P_i - 0,3; Р₂ - 0,8; Р₃ -0,6; Р₄-0,5;

 Р₅ -0,1.

1. Приведите формулировки: теоремы умножения вероятностей и её следствий.

2. Необходимо найти вероятность того, что питающая ГПП линия будет загружена на 94 %.

Решение:

1.   Теорема умножения вероятностей- вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое  имело место.

P (AB) = P (A) P (В/А)

 

         При применении теоремы умножения, безразлично какое из событий считать первым.

  Следствие 1- если событие А независит от события В, то и событие В не зависит от события А.

 Следствие 2- вероятность произведения двух независимых событий равна

произведению вероятностей этих событий.

Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий. В общем виде она формулируется так:

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность  каждого следующего по порядку события  вычисляется при условии, что  все предыдущие имели место.

 

1. События включения потребителей- события независимые. Поэтому для решения задачи используем формулу теоремы умножения вероятностей в общем виде. Обозначим через А- событие загрузки ГПП на 94%.

Р(А) = Р_{1Р2 Р3Р4Р5} =0,3_{0,80,60,50,1 = 0,0072}

 

Задание №3

Воздушная линия электропередачи (ВЛЭП) питающая распределительный  пункт (РП) трансформаторной подстанции, работает в двух режимах:

а)  номинальном;

б)  с перегрузкой.

Первый режим работы составляет 60 % времени эксплуатации, а второй - 31 %. Вероятность выхода линии из строя в течении времени t в номинальном режиме равна 0,3; во втором - 0,6.

          1. Приведите формулировки:  теоремы сложения вероятностей и её

следствий.

            2.Необходимо найти:

               2.1 Вероятность выхода линии из строя в течение времени t.

              2.2 Линия вышла из строя. Какова вероятность того, что она вышла из

      строя, работая в первом режиме?

Решение:

Теорема сложения вероятностей формулируется следующим образом.

          Вероятность суммы двух несовместных  событий равна сумме вероятностей  этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

Следствие 1. Если события  A₁, А₂, ... А_n, образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

 

Перед тем, как записать второе следствие теоремы сложения, определим  понятие о «противоположных событиях».

Противоположными событиями  называются два несовместных события, образующих полную группу.

Событие, противоположное  событию А, принято обозначать  .

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна  единице:

Р(А) + Р = 1

           2.1 Вероятность выхода линии из строя в течение времени t.

          Возможны две гипотезы:

          Н₁ - работа кабеля в номинальном режиме;

          Н₂ - работа кабеля в режиме перегрузки.

          Вероятности этих гипотез до опыта:

Р(H₁) =0.6; Р(H₂) =0.31

 

Вероятность события А (выход  кабеля из строя) при этих гипотезах  равны:

Р(А/Н₁) = 0,3; Р(А/Н₂) = 0,6

Используя формулу полной вероятности, определяем вероятность  выхода кабеля из строя в течение  времени t:

Р(А) = Р(Н₁)Р(А/ Н₁) + Р(Н₂)Р(А/ Н₂) = 0,60,3 + 0,310,6 = 0,366

       2.2 Вероятность того, что кабель вышел из строя, работая в первом режиме, определим по формуле Бейеса:

 

 

 

Задание №4

        Вдоль воздушной линии электропередач (ВЛЭП) происходит четыре удара молнии. Вероятность попадания в ВЛЭП первого грозового разряда ровна 0,1, второго - 0,5, третьего - 0,6, четвёртого - 0,9. ВЛЭП выходит из строя при одном попадании молнии с вероятностью 0,3, при двух попаданиях с вероятностью 0,5, при трёх попаданиях с вероятностью 0,8, при четырёх попаданиях с вероятностью 1.

1. Требуется найти вероятность того, что в результате грозовых разрядов ВЛЭП вышла из строя.

2. Приведите полностью вывод формулы Бейеса.

Решение:

  1. Рассмотрим пять гипотез:

Н₀ - в ВЛЭП не попало ни одного грозового разряда;

Н₁ - в ВЛЭП попал один грозовой разряд;

Н₂ - в ВЛЭП попало два грозовых разряда;

Нз - в ВЛЭП попало три грозовых разряда;

Н₄ - в ВЛЭП попало три грозовых разряда;

Очевидно, что эти гипотезы имеют место при следующих  сочетаниях событий, образующих несколько  несовместных вариантов:

 

 

 

 

 

где: 
  - попадание молнии в ВЛЭП при 1-ом, 2-ом, 3-ем и 4-ом грозовом разряде соответственно;

- противоположные события.

Пользуясь теоремами сложения, умножения и свойством противоположных  событий, найдем вероятности этих гипотез:

P(H₀) =0,9

P (H₁) =0,1

P (H₂) =0,1

P (H₃) =0,9

   P (H₄) =0,1

Условные вероятности  события А (выход из строя ВЛЭП) при этих гипотезах равны:

P(A/H₀)=0; P(A/H₁)=0,3; P(A/H₂)=0,5; P(A/H₃)=0,8; P(A/H₄)=1

Применяя формулу полной вероятности, получим:

Р(А) =Р(Н₁ )Р(А/Н₁) + Р(Н₂ )Р(А/Н₂) + Р(Нз )Р(А/Н₃) + P(H₄) Р(А/Н₄)

Р(А) = 0,209 0,3 + 0,4550,5 + 0,2910,8 + 0,0271 = 0,5495

          2.Вывод формулы Бейеса:

Теорема гипотез является следствием теоремы умножения и  формулы полной вероятности.

Поставим задачу.

Имеется полная группа несовместных гипотез, а вероятности этих гипотез  заранее известны, еще до опыта. Произведен опыт, в результате которого имело место событие А.

 Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события, т.е. необходимо найти вероятность Р(H_i/A)

Из теоремы умножения  имеем:

P(AH_i)=P(A)P(H_i/A)=P(H_i)P(A/H_i)

где: i-1,2,...,n

Из последнего уравнения, отбрасывая левую часть, находим:

 

Выражая Р(А) с помощью  формулы полной вероятности, имеем:

 

 

Данная формула и носит  название формулы Бейеса или теоремы гипотез.

 

Задание №5

Агрегат состоит из трёх аппаратов: одного аппарата первого  типа - А и двух аппаратов второго  типа — В1 и В2. Аппарат А не дублирован. Аппараты В1 и В2 дублируют  друг друга: при отказе одного из них  происходит автоматическое переключение на второй. Чтобы устройство отказало нужно, чтобы отказал апарат А или одновременно отказали оба аппарата В1 и В2. Таким образом, отказ агрегата - событие С представляется в виде: С = А + В1В2

 где А - отказ аппарата А; В1 — отказ аппарата В1; В2 - отказ аппарата В2.

Необходимо найти:

Вероятность события С  через вероятности событий, содержащих только суммы, а не произведения элементарных событий А и В1, В2.

Приведите полностью вывод  формулы полной вероятности.

Дайте определение понятиям:

• статистическая вероятность события;
• практически невозможное событие;
• практически достоверное событие;
• несовместные события;
• равновозможные события;
• случайная величина;
• событие;
• дискретная лучайная величина;
• непрерывная лучайная величина;
• частота события;
• полная группа событий.

Решение:

Т.к. события совместны, вероятность суммы этих событий выражается:

Р(С) = Р(А) + Р(В₁ В₂) - Р(АВ₁ В₂)

Аналогично расписываем  для произведения событий:

Р(В₁ В₂) = Р(В₁) + Р(В₂) - Р(В₁ + В₂)

Р(А В₁В₂) = Р(В₁) + Р(В₂) + Р(А) - Р(В₁ +В₂)- Р(В₁ + А) -Р(В₂ + А) + Р( А + В₁ + В₂)

Подставляя это выражение в первую формулу получаем ответ:

Р(С) = Р(А) + Р(В₁) + Р(В₂) - Р(В₁ +В₂)- Р(В_]) - Р(В₂) - Р(А) +

+ Р(В₁ +В₂) + Р(В₁ +А) + Р(В₂+А)-Р(А + В₁ +В₂) =

= Р(В₁ + А) + Р(В₂ + А)- Р(А + В₁+В₂)

 

Формула полной вероятности  является следствием обеих основных теорем- теоремы сложения и теоремы  умножения вероятностей. Пусть требуется  определить вероятность некоторого события А, которое может произойти  с одним из событий Н₁,Н₂,...,Н_п, образующих полную группу несовместных событий. Будем называть эти события гипотезами.

Т.к. гипотезы Н₁,Н₂,...,Н_п образуют полную группу, то событие А может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез:

А = Н₁А + Н₂А + ... + Н_пА

Т.к. гипотезы Н₁,Н₂,...,Н_п несовместны, то и комбинации H₁A + Н₂А + ... + Н_пА также не совместны. Применяя к ним теорему сложения вероятностей, получим:

Р(А) = Р(H₁А) + Р(Н₂A) +... + Р(Н_nА) =

Применяя к событию H_iA теорему умножения, получим:

P(A)=P(H₁)P(A/H₁)+ P(H₂)P(A/H₂)+…+ P(H_n)P(A/H_n)

или:

P(A)=

Полученная формула и  есть формула полной вероятности.

Дать определения понятиям:

• статистическая вероятность события (частота)- Если произведена серия из п опытов, в каждом из которых могло появиться или не появиться некоторое событие А, то частотой события А в данной серии опытов называется отношение числа опытов, в которых появилось событие А, к общему числу произведенных опытов;
• практически невозможное событие - это событие, вероятность которого не в точности равна нулю, но весьма близка к нулю;
• практически достоверное событие - событие, вероятность которого не в точности равна единице, но весьма близка к единице;
• несовместные события. Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе;
• равновозможные события. Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии есть основания считать, что ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другие;
• случайная величина - это величина, которая в результате опыта может