Контрольная работа по "Теории вероятности и математической статистике"

Вариант 4

 

№1. На каждой из семи одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв у, о, л, м, а, т, е. Найдите вероятность того, что на четырех, вынутых по одной и расположенных в одну линию, карточках можно будет прочитать слово «лето».

 

Решение: Воспользуемся формулой условной вероятности независимых событий.

А – событие, заключающееся в  том, что прочитается слово «Лето».

Вероятность события А равна:

Ответ: вероятность того, что прочитается  слово «лето», равна 0,0012.

 

 

 

№2. В партии  саженцев имеется 10 саженцев 1-го сорта и 5 саженцев 2-го сорта. Наудачу отобрали 6 саженцев. Найти вероятность того, что среди отобранных саженцев окажется 4 саженца 1-го сорта.

 

Решение: Воспользуемся формулой

k=4,    m=6,     n1=10,      n2 = 5

Тогда, вероятность того, что из шести выбранных саженцев четыре будет первого сорта, равна:

Ответ: вероятность того, что из шести выбранных саженцев четыре будет первого сорта, равна 0,4196.

 

 

 

№3. Два стрелка стреляют по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,55, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один стрелок.

 

Решение:

- 1-й стрелок попал в цель;

- 2-й стрелок попал в цель;

- событие, заключающееся в  том, что при одном залпе  в мишень попадет только один  стрелок.

Найдем вероятность  события В.

Ответ: вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один стрелок, равна 0,47.

 

 

 

№4. В первой коробке 25 пар обуви, из них 5 бракованных; во второй 20 пар обуви, из них 3 бракованные; в третьей коробке – 15 пар, из них 2 бракованные. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная пара обуви из наудачу взятой коробки – не бракованная.

 

Решение: Воспользуемся формулой полной вероятности

В – событие, заключающееся  в том, что наудачу извлеченная  пара обуви из наудачу взятой коробки  – не бракованная;

А1 – пара обуви взята  из первой коробки;

В/А1 – пара обуви, взятая из первой коробки, не бракованная;

А2 – пара обуви взята  из второй коробки;

В/А2 – пара обуви, взятая из второй коробки, не бракованная;

А3 – пара обуви взята  из третьей коробки;

В/А3 – пара обуви, взятая из третьей коробки, не бракованная.

Ответ: вероятность того, что наудачу извлеченная пара обуви из наудачу взятой коробки  – не бракованная, равна 0,8333.

 

 

 

№5. В таблице дан закон распределения случайной величины Х (месячная выручка киоска «Роспечать», тыс. руб.). Найти математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины.

Х	90	80	70	65	60	50
Рi	1/40	1/5	1/2	1/5	1/20	1/40

 

 Решение: Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, используя формулы:

М(Х) = .

Вычислим дисперсию, используя  формулу:

D(X) = М(Х²) – М²(Х)

Ответ: М(Х) = 70,5          D(X) = 49,75

 

 

№6. Методом наименьших квадратов найти эмпирическую формулу вида для функции, заданной таблицей

Х	1	2	3	4	5	6	7	8
У	4	2	-10	5	1	-3	7	3

 

Решение:

Параметры уравнения  прямой найдем из системы

Составим рабочую таблицу.

 

 

 

№п/п	X	Y	X*X	X*Y	Ур
1	1	4	1	4
2	2	2	4	4
3	3	-10	9	-30
4	4	5	16	20
5	5	1	25	5
6	6	-3	36	-18
7	7	7	49	49
8	8	3	64	24
Сумма	36	9	204	58
Средняя	4,5	1,125	25,5	7,25

 

 

Получим систему:

Уравнение регрессии  имеет вид

 

Построим графики

 

 

 

 

 

№7. Решить задачу линейного программирования графическим методом:

Решение:

Построим область ограничений:

- прямая 1:  . Выбираем полуплоскость, расположенную ниже прямой 1;

- прямая 2:  . Выбираем полуплоскость, расположенную ниже прямой 2;

- прямая3:  . Выбираем полуплоскость, расположенную ниже прямой 3;

- прямая 4:  . Выбираем полуплоскость, расположенную левее прямой 4.

С учетом того, что  получим замкнутую область ОABCDF.

Строим вектор и прямую . Перемещаем прямую Z в направлении вектора S. Последний раз она пересекает область ограничений на отрезке прямой 3 от точки С до точки D.

Найдем координаты точки D – точки пересечения прямых 3 и 4.

Тогда максимальное значение функции Z(x) равно:

Z(x)=2*6+2*4=20

 

Максимальное значение функция будет принимать при 

Ответ: 

Список литературы

 

 

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Наука. 2006.
2. Замков О.О. и др. Математические методы в экономике. – М.:ДИС. 1997.
3. Исследование операций в экономике. / Под ред. Н.Ш.Кремера. –М.:ЮНИТИ. 1999.
4. Малыхин В.И. Математика в экономике. – М.: ИНФРА-М. 1999.
5. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. – М: Наука. 1982.
6. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе.- М.:ЮНИТИ-ДАНА. 2000.
7. Экономико-математические методы и прикладные модели./ Под ред. В.В.Федосеева. – М.:ЮНИТИ. 2000.