Контрольная работа по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное  автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ  И  ВНЕШНЕЭКОНОМИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по курсу  «Теория вероятностей и математическая статистика»

 

Вариант № 1

 

 

 

 

Выполнила:

студентка 2 курса

группы 2012-З-БУ

Масалова Виктория Игоревна

 

Проверил

преподаватель

Сурова Виктория Александровна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г. Ростов-на-Дону  2013

 

 

 

Задание

1. Во многих странах  водительское удостоверение (автомобильные  права) имеют шифр, состоящий из трех букв и трех цифр. Чему равно общее число возможных номеров водительских удостоверений, считая, что число букв в латинском алфавите - 26, а буквы занимают первые три позиции шифра? Если шифр состоит только из шести цифр, то чему в этом случае равно общее число всех возможных номеров удостоверений, если:

а)цифры в шифре не повторяются

б) если повторяются.

Решение

а) цифры и буквы в номере не повторяются

Из трех цифр = 10*9*8  = 720

Из трех букв = 12*11*10 = 1320

Общее число номерных знаков = 950 400

б) если повторяются

Общее число сочетаний 

Из трех цифр = 10*10*10 =1000

Из трех букв =  12*12*12 = 1728

Общее число номерных знаков = 1000*1728 = 1 728 000

 

2.Служащий кредитного отдела банка знает, что 12% фирм, бравших кредит в банке, обанкротились и не вернут кредиты по крайней мере в течение пяти лет. Он также знает, что обанкротились 20% кредитовавшихся в банке фирм. Если один из клиентов банка обанкротился, то чему равна вероятность того, что он окажется не в состоянии вернуть долг банку?

Решение

Событие

А - Вероятность того что фирм, бравших  кредит в банке, обанкротились и  не вернут кредиты по крайней мере в течение пяти лет равноР(А) = 0,12

В - Вероятность что обанкротится Р(В)= 0,2

Вероятность того, что он окажется не в состоянии вернуть долг  банку равна

Р(А)/Р(В)= 0,12/0,2=0,6

 

3.Директор фирмы имеет  2 списка с фамилиями претендентов  на работу. В первом списке фамилии 5 женщин и 2 мужчин. Во втором списке оказались 2 женщины и 6 мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно переносится из первого списка во второй. Затем фамилия одного из претендентов случайно выбирается из второго списка. Если предположить, что эта фамилия принадлежит мужчине, чему равна вероятность того, что из первого списка была извлечена фамилия женщины?

Решение

Обозначим событие А = фамилия принадлежит мужчине из второго списка

Из первого списка мог быть извлечена фамилия мужчины, либо женщины . Вероятность того,

что из первого списка мужчина

Р(Н₁)=2/7

Вероятность того, что из первой урны извлечен черный шар:

          Р(Н₂)=5/7

Условная вероятность того, что  из второго списка извлечена фамилия  мужчины если из первой урны извлечена  фамилия мужчины 

= Р(А/Н₁)=7/9

Условная вероятность того, что из второго списка извлечена фамилия мужчины если из первой урны извлечена фамилия женщины

= Р(А/Н₂)=6/9

Вероятность того, что из второй урны будет извлечен белый шар, равна:

Р(А)= Р(Н₁) Р(А/Н₁)+ Р(Н₂)Р(А/Н₂)= =0,698

 

4.Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному закону с математическим  ожиданием 785 тонн и стандартным отклонением 60 тонн.

а)Найдите вероятность того, что  по крайней мере 800

 тонн будут добыты в заданный  день.

б)Определите долю рабочих дней, в которые будет добыто от 750 до 850 тонн угля?

в)Найдите вероятность того, что  в данный день добыча угля упадет ниже 665 тонн.

Решение

а)Используем формулу расчета вероятности  для нормального распределения

б)

в)

5. По данным выборочного  обследования получено следующее  распределение семей по среднедушевому доходу:

 

Среднедушевой доход семьи в  месяц (у.е.)	до 100	100-200	200-300	300-400	400-500	500- 600	600 и выше
Количество обследованных семей	46	236	250	176	102	78	12

Постройте гистограмму распределения  частот. Найдите среднедушевой доход  семьи в выборке, дисперсию, среднее  квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Объясните полученные результаты.

Гистограмма.

 

 

Таблица для расчета показателей.

 

Группы	Середина интервала, xi	Кол-во, fi	xi * fi	Накопленная частота, S	|x - xср|*f	(x - xср)2*f	Частота, fi/n
0 - 100	50	46	2300	46	10907.11	2586197.23	0.0511
100 - 200	150	236	35400	282	32358.22	4436671.8	0.26
200 - 300	250	250	62500	532	9277.78	344308.64	0.28
300 - 400	350	176	61600	708	11068.44	696082.17	0.2
400 - 500	450	102	45900	810	16614.67	2706344.59	0.11
500 - 600	550	78	42900	888	20505.33	5390624.3	0.0867
600 - 700	650	12	7800	900	4354.67	1580260.15	0.0133
		900	258400		105086.22	17740488.89	1

 

 

Показатели центра распределения.

Средняя взвешенная

 

 

Мода 

 

 

где x0 – начало модального интервала; h – величина интервала; f2 –частота, соответствующая модальному интервалу; f1 – предмодальная частота; f3 – послемодальная частота.

Выбираем в качестве начала интервала200

 

Наиболее  часто встречающееся значение ряда – 215.91

 

Медиана

В интервальном ряду распределения сразу  можно указать только интервал, в  котором будут находиться мода или  медиана. Медиана соответствует  варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Медианным является интервал 200 - 300, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот).

 

 

Таким образом, 50% единиц совокупности будут  меньше по величине 267.2

Среднее значение изучаемого признака по способу  моментов.

 

где А – условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой), h – шаг интервала.

 

Находим А = 250.

Шаг интервала h = 100.

Средний квадрат отклонений по способу  моментов.

 

xц	x*i	x*ifi	[x*i]2fi
50	-2	-92	184
150	-1	-236	236
250	0	0	0
350	1	176	176
450	2	204	408
550	3	234	702
650	4	48	192
		334	1898

 

 

 

Среднее квадратическое отклонение (средняя  ошибка выборки).

 

Показатели вариации.

Абсолютные показатели вариации.

Размах вариации - разность между  максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = Xmax - Xmin

R = 600 - 0 = 600

Среднее линейное отклонение - вычисляют  для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

 

 

Каждое значение ряда отличается от другого не более, чем на 116.76

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

 

 

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

 

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 287.11 не более, чем  на 140.4

Относительные показатели вариации.

Коэффициент вариации

 

Поскольку v>30% ,но v<70%, то вариация умеренная.

 

 

6.С целью изучения размеров дневной выручки в сфере мелкого частного бизнеса была произведена 10%-ная случайная бесповторная выборка из 1000 торговых киосков города. В результате были получены данные о средней дневной выручке, которая составила 500 у.е. В каких пределах с доверительной вероятностью 0,95 может находиться средняя дневная выручка всех торговых точек изучаемой совокупности, если среднее квадратическое отклонение составило 150 у.е?

Решение

Дисперсия D = σ² = 150² = 22500

Определяем значение t_kp по таблицам функции Лапласа.

В этом случае 2Ф(t_kp) = 1 - γ

Ф(t_kp) = γ/2 = (1- 0.05)/2 = 0.48

По таблице функции Лапласа  найдем, при каком t_kp значение Ф(t_kp) = 0.48

t_kp(γ) = (0.48) = 2.06

 

(500 - 293.143;500 + 293.143) = (206.86;793.14)

Доверительный интервал для дисперсии.

Вероятность выхода за нижнюю границу  равна P(χ²_n-1 < h_H) = (1-γ)/2 = 0.025. Для количества степеней свободы k = 999, по таблице распределения χ² находим:

χ²(999;0.025) = 241.0579.

Случайная ошибка дисперсии:

 

 

Вероятность выхода за верхнюю границу  равна P(χ²_n-1 ≥ h_B) = 1 - P(χ²_n-1 < h_H) = 1 - 0.025 = 0.975. Для количества степеней свободы k = 999, по таблице распределения χ² находим:

χ²(999;0.975) = 162.728.

Случайная ошибка дисперсии:

 

 

(22500 - 93245.23; 22500 + 138129.27)

(-70745.23; 160629.27)

Найдем верхнюю границу доверительного интервала для дисперсии с надежностью γ = 0.95.

 

P(χ²_n-1 > h_γ) = 0.95. Для количества степеней свободы k = 999, по таблице распределения χ² находим:

χ²(999;0.95) = 168.2786.

Случайная ошибка дисперсии:

 

 

0 ≤ σ² ≤ 133573.13

Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения.

Найдем доверительный интервал для среднеквадратического отклонения с надежностью γ = 0.95.

Нижняя ошибка среднеквадратического  отклонения:

 

Верхняя ошибка среднеквадратического  отклонения:

 

(150 - 305.36; 150 + 371.66)

(-155.36; 455.36)

Найдем верхнюю границу доверительного интервала для среднеквадратического отклонения:

 

0 ≤ σ ≤ 365.48

Интервальное оценивание генеральной доли (вероятности события).

Доверительный интервал для генеральной  доли.

 

Определяем значение t_kp по таблицам функции Лапласа.

В этом случае 2Ф(t_kp) = 1 - γ

Ф(t_kp) = γ/2 = (1- 0.05)/2 = 0.48

По таблице функции Лапласа  найдем, при каком t_kp значение Ф(t_kp) = 0.48

t_kp(γ) = (0.48) = 2.06

 

(10; 10)

С вероятностью 0.95 при большем объеме выборки, эта доля будет находиться в заданном интервале.

 

7.Компания, производящая средства для потери веса, утверждает, что прием таблеток в сочетании со специальной диетой позволяет сбросить в среднем в неделю 400 граммов веса.  Случайным образом отобраны 25 человек, использующих эту терапию, и обнаружено, что в среднем еженедельная потеря в весе составила 430граммов со средним квадратическим отклонением –110граммов. Проверьте гипотезу о том, что средняя потеря в весе составляет 400 граммов. Уровень значимости а = 0,05.

 

Решение

 

 

Сформулируем гипотезы

Рассчитываем по формуле

Найдем 

Следовательно

Да гипотеза 0 подтверждается,  да правда потеря в весе 400 гр.