Контрольная работа по теории вероятности

Контрольная работа по теории вероятности №3  Вариант 3. Выполнено авторским коллективом ООО «Взфэи-архив.рф» © 2010. Avzfei.ru. Авторские права на данную работу зарегистрированы  Российским авторским обществом КОПИРУС совместно с Федеральным государственным учреждением Российская государственная библиотека - РГБ.

© ООО «ВЗФЭИ-АРХИВ.РФ», 2010

Электронная версия данного текстовой работы предназначена исключительно для ознакомления. Незаконное распространение, публикация (в том числе и на интернет-ресурсах), передача третьим лицам текста данной работы, либо фрагментов текста данной работы без прямой цитаты и согласования с правообладателем преследуется по закону, а лица виновные в данных правонарушениях несут ответственность, предусмотренную главой 4 Гражданского Кодекса РФ.

Если Вы обнаружили данную работу на каком-либо сайте, кроме avzfei.ru, взфэи.su, взфэи-архив.рф – немедленно сообщите об этом на адрес электронной почты: vzfeiextra@ya.ru – Вознаграждение сообщившему гарантируется!

 

Контрольная  работа № 3

Вариант  5

 

 

 

 

 

 

Задача № 1   

 

Ребёнок играет кубиками,  на которых  написаны буквы:  ,  ,  ,  , ,  ,  .    Найти вероятность того,  что произвольно поставленные в ряд пять букв образуют слово «ШАРИК».

 

Решение.

 

Испытание (опыт)  заключается в  выборе по одному  пяти кубиков с буквами в случайном порядке без возврата.

 

Элементарным событием (исходом испытания)  является полученная последовательность из пяти букв.  Элементарные события являются  размещениями  из  7  букв  ( ,  ,  ,  , ,  ,  )   по  5  букв.

 

Число всех возможных исходов испытания:   

 

.

 

 

Пусть событие    заключается в том,  что буквы выбраны в порядке заданного слова «ШАРИК».  

 

Число исходов, благоприятствующих появлению  события  ,  соответствует числу всех возможных использований букв Ш,  А,  Р,  И   и   К,  входящих в слово «ШАРИК»:  

 

.

 

Воспользовавшись классическим определением вероятности,  получаем:

 

.

 

Ответ:     .      

 

 

 

 

 

Задача № 2   

 

При тестировании качества радиодеталей установлено,  что на каждые 10000 радиодеталей в  среднем приходится  четыре бракованных.  Определить вероятность того,  что при проверке  5000 радиодеталей  будет обнаружено:   

а)  не менее трёх бракованных  деталей;

б)  не менее одной и не более  трёх бракованных деталей.

 

Решение.

 

Здесь мы имеем дело с независимыми испытаниями,  каждое из которых заключается в тестировании качества радиодетали.  Число испытаний в нашем случае  .

 

В нашем случае  событие     состоит в том,  что деталь является бракованной.

 

а)  Вероятность обнаружения при проверке  5000 радиодеталей не менее трёх бракованных деталей равна   .

 

Вычислить искомые вероятности  ,  ,    появления события в 5000  испытаниях  по формуле Бернулли    затруднительно  из-за громоздкости вычислений.  Искомую искомые вероятности ,  ,    можно вычислить,  используя асимптотические (приближённые) формулы Пуассона  и   Муавра – Лапласа.

 

Воспользуемся теоремой  Пуассона:

 

если вероятность    наступления события   в каждом испытании постоянна и мала  ,   число испытаний   – велико    и число   – незначительно ,  то  вероятность того,  что событие   появится    раз  в    независимых испытаниях вычисляется по приближённой формуле   ,    где     – функция Пуассона.

 

В нашем случае  вероятность  появления  события       постоянна и мала,  число независимых испытаний   велико,  число .

 

Значит вероятность появления  события    не менее 3  раз в 5000  испытаниях:

 

.

 

 

По таблице значений функции  Пуассона находим: 

 

,    ,     .

 

Следовательно,   вероятность  обнаружения при проверке  5000 радиодеталей не менее трёх бракованных деталей равна   

.

 

б)  Вероятность обнаружения  при проверке  5000 радиодеталей не менее одной и не более трёх бракованных деталей равна   .

 

Снова воспользуемся теоремой  Пуассона:

 

если вероятность    наступления события   в каждом испытании постоянна и мала  ,   число испытаний   – велико    и число   – незначительно ,  то  вероятность того,  что событие   появится    раз в   независимых испытаниях вычисляется по приближённой формуле   ,    где     – функция Пуассона.

 

В нашем случае  вероятность  появления  события       постоянна и мала,  число независимых испытаний   велико,  число .

 

Значит вероятность появления  события    не менее 1 и не более 3  раз в 5000  испытаниях:

 

.

 

 

По таблице значений функции  Пуассона находим:    

 

,       ,       .

 

Следовательно,   вероятность  обнаружения при проверке  5000 радиодеталей не менее одной и  не более трёх бракованных деталей  равна    

.

 

 

 

Ответ:     а)  ;       б)  .    

 

 

 

 

 

Задача № 3   

 

Вероятность гибели саженца  составляет  0,4.  Составить закон распределения  числа прижившихся саженцев из имеющихся  четырёх.  Найти  математическое ожидание,  дисперсию, среднее квадратическое отклонение    и функцию распределения этой случайной величины.

 

Решение.

 

Дискретная случайная величина  Х   – число прижившихся саженцев  –   имеет следующие возможные значения:    ,    ,    ,    ,    .

 

Найдём вероятности   ,  ,  ,  ,    этих  возможных значений.

 

Х
Р

Искомый  закон распределения  дискретной случайной   

величины  Х,  соответственно,   будет иметь вид:   

 

 

Пусть   – событие,  которое заключается в том,  что саженец погиб.

 

Так как число испытаний невелико,  то для вычисления искомых вероятностей  воспользуемся  формулой Бернулли  ,  где

  –  число сочетаний   из    элементов по  ;

 

  –  вероятность появления  события    в каждом из испытаний,  по условию ;

 

  –  вероятность непоявления  события    в каждом из испытаний,  .

 

Число прижившихся саженцев      возможно только в случае  появления события    ровно   4  раза  в   испытаниях.   Поэтому

 

.

 

Число прижившихся саженцев      возможно только в случае  появления события   ровно   3  раза  в    испытаниях.   Поэтому

 

.

 

Число прижившихся саженцев      возможно только в случае  появления события   ровно   2  раза  в испытаниях.   Поэтому

 

.

 

Число прижившихся саженцев      возможно только в случае  появления события   ровно   1  раз в   испытаниях.   Поэтому

 

.

 

Число прижившихся саженцев      возможно только в случае  появления события   ровно   0  раз в   испытаниях.   Поэтому

 

.

 

Сумма вероятностей  .

 

Таким образом,  искомый  закон  распределения дискретной случайной   величины  Х  

Х	0	1	2	3	4
Р

имеет вид:   

 

 

 

 

 

 

Вычислим числовые характеристики случайной величины  Х  (параметры распределения):

 

 

 

 

Математическое ожидание дискретной случайной величины  Х:

 

 

 

.

 

Дисперсия  дискретной случайной  величины Х:  ,    где .

 

  

 

,

 

значит  .

 

Среднее квадратическое отклонение    .

 

Функция распределения вероятностей  (интегральная функция распределения)   случайной величины  задаётся  формулой  .

 

При построении функции    будем получать её аналитическое выражение на каждом промежутке разбиения числовой прямой точками,  соответствующими значениям заданной  случайной величины,   используя теорему  сложения вероятностей несовместных событий:

 

1. для     ,  так как в данном случае мы имеем дело с вероятностью невозможного события   (в частности  для     );

 

2. для       (в частности для    );

 

3. для                                                  (в частности для    );

 

4. для                                     (в частности для    );

 

5.   для               

 

(в частности  для      );

 

6.   для        .               

 

Обобщая полученные данные,  можно  записать:  

 

 

Х	0	1	2	3	4
Р

Ответ:                 ;      ;     ;     

 

 

;    

 

 

 

 

Задача № 4

 

Независимые случайные величины    и   заданы законами распределения:

	-1	4
	0,3	?

	-2	0	3
	0,1	0,4	?

 

                 :                                                          :

 

 

Найти вероятности   и .  Составить закон распределения случайной величины  и проверить свойство математического ожидания  .

 

Решение.

 

1)    Воспользуемся  тем,  что сумма вероятностей всех возможных исходов равна  1.  

 

Для случайной величины  :   ;    ;   ;    .  

 

 

	-1	4
	0,3	0,7

Вероятность того,  что случайная  величина    примет  значение,  равное  4,  составляет  .

 

Закон распределения случайной  величины    имеет вид:     . 

 

 

 

Для случайной величины  :   ;    ;  

 

;   ;   .  

 

	-2	0	3
	0,1	0,4	0,5