Контрольная работа по "теории вероятности"

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

ФГБОУ ВПО «Уральский государственный экономический  университет»

 

Центр дистанционного образования

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине: теория вероятности

 

 

 

Исполнитель: студент

Направление экономика

Профиль экономическая безопасность

 

 

 

 

 

 

 

 

Екатеринбург

                         

                             

Задача 1.

 

  Из 4 отрезков, длины которых равны 3, 4, 7 и 9 см, наугад выбираются какие-то 3. Какова вероятность того, что из выбранных отрезков можно составить треугольник?

 

Решение: Используем классическое определение вероятности: , где m – число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n – число всех равновозможных элементарных исходов.

3 отрезка из 4 мы можем выбрать   способами.

Это варианты: (3,4,7), (3,4,9), (4,7,9), (3,7,9).

 

Для того чтобы из 3 отрезков можно было составить треугольник, необходимо выполнение условия: x + y > z (x, y, z – произвольные стороны).

 

Данное неравенство  не выполнено для набора (3,4,7) так  как 3+4=7.

Данное неравенство  не выполнено для набора (3,4,9) так  как 3+4<9.

 

Для остальных троек  выполнено, а их осталось .

 

 Искомая вероятность: .

 

Ответ: 0,5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2.

 

 

 

На полке стоят 20 учебников, два из них по математике. Наугад выбираются 4 учебника. Найти вероятность  того, что хотя бы один их взятых учебников – по математике.

 

Решение. Используем классическое определение вероятности: , где m – число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n – число всех равновозможных элементарных исходов.

Событие = (Среди отобранных 4 учебников есть хотя бы один по математике). Рассмотрим сначала противоположное событие   = (Среди отобранных 4 учебников нет ни одного по математике).

 

- число способов выбрать любые  4 книги из 20.

 

- число различных способов  выбрать 4 книги из 18 книг не  по математике.

 

Получаем вероятность  . Тогда вероятность исходного события можно найти следующим образом:

 

Ответ: 0,368.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача  3.

 

 

 В первой урне 7 белых шаров и 3 черных, во второй – 4 белых и 5 черных. Из первой урны наугад вынули 2 шара и положили во вторую. Какого цвета шар теперь более вероятно вынуть из второй урны?

 

 

Решение.  Введем полную группу гипотез:

= (Из первой урны во вторую  переложено 2 белых шара),

= (Из первой урны во вторую  переложено 1 белый шар и 1 черный  шар),

= (Из первой урны во вторую переложено 2 черных шара).

 

Найдем вероятности  гипотез по классическому определению  вероятностей:

, , .

 

Введем событие  = (Из второй урны выбран белый шар). Найдем априорные условные вероятности , .

Гипотеза  . Во второй урне станет 6 белых и 5 черных шаров, .

Гипотеза  . Во второй урне станет 5 белых и 6 черных шаров, .

Гипотеза  . Во второй урне станет 4 белых и 7 черных шаров, .

 

Вероятность события  найдем по формуле полной вероятности:

- вероятность вынуть белый  шар. Тогда вероятность вынуть  черный шар: 1-0,491=0,509. Она больше.

 

Ответ: вероятнее вынуть черный шар.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4.

 

 

Студент познакомился в  троллейбусе с девушкой, и она дала ему свой номер телефона. Однако студент забыл последнюю цифру номера и поэтому набирает ее наугад. Какова вероятность того, что ему придется звонить не более, чем в три места?

 

Решение:

Возможны 3 исхода

A={студент с 1го раза набрал нужный номер}, (1 правильная цифра из 10)

B={студент со 2го раза набрал нужный номер},

(первый раз набрал неправильно,  второй раз правильно)

С={студент со 3го раза набрал нужный номер},

вероятность того, что ему придется звонить не более, чем в три  места равна:

 

Задача  5.

 

Вероятность того, что спортсмен  победит в матче, равна 0,6. Какова вероятность того, что в 10 поединках  он одержит больше 8 побед?

 

 

Решение: Используем формулу Бернулли: