Криволинейный интеграл

Вычисление  полученного двойного интеграла удобно провести в полярных координатах:

.

Подчеркнем, что формулу Грина можно применять только тогда, когда функции P(x , y) и Q(x, y) и их частные производные  и непрерывны в замкнутой области D, т.е. внутри области D и на ее контуре. Так, например, приводя интеграл

 к двойному интегралу по формуле Грина, следует найти и . Окажется, что

, т.е. ,

а поэтому двойной интеграл будет равен нулю, следовательно, и данный интеграл I, вычисленный по любому замкнутому контуру, равен нулю. Однако такое заключение для любого замкнутого контура является неверным. Например, если вычислить этот интеграл по окружности x = , y = (0≤t≤2π) с центром в начале координат, то можно  легко проверить, что он будет равен не нулю, как это следует из формулы Грина, а 2π (проверьте!).

Такое несовпадение результатов объясняется тем, что в круге D с центром в начале координат подынтегральные функции P(x, y) =

и Q(x, y) =   не являются непрерывными.

Интеграл I будет равен нулю только тогда, когда  область D не содержит внутри себя начало координат.

 

 

 

Пример на работу силы

№1

Найти работу, совершаемую полем при перемещении тела от начала координат O(0,0) до точки A(1,1) по траектории C, где  
 
1) С − отрезок прямой y = x; 
2) С − кривая .

 
Решение.

1) Вычислим работу при перемещении  вдоль прямой y = x.      

 

2) Определим теперь работу при  перещении вдоль кривой  .      

 

 

 

 

 

№2

Тело массой m брошено под углом к горизонту α с начальной скоростью v0 (рисунок 6). Вычислить работу силы притяжения за время движения тела до момента соударения с землей.

 
Решение.

Запишем закон движения тела в параметрической форме.      

 

При соударении с землей y = 0, так что время полета тела равно      

 

Силу притяжения запишем в виде . Тогда работа за время перемещения тела равна      

 

Полученный результат объясняется тем, что гравитационное поле Земли является потенциальным, поскольку выполняется равенство      

 

Найдем потенциал этого поля. В общем виде он записывается как      

 

Полагая , находим      

 

Таким образом, потенциал гравитационного поля равен      

 

где C − константа, которую можно положить равной 0. В результате получаем потенциал в виде      

 

Отсюда видно, что при перемещении тела из начальной точки O(0,0) до конечной точки A(L,0) работа равна      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

В данной курсовой работе я рассмотрела формулу Грина и смежные понятия, мною были подобраны и разобраны упражнения по данной теме. Подводя итог курсовой работы можно сказать, что поставленная цель достигнута.

При выполнении данной курсовой работы были решены, поставлены задачи и выполнено следующее:

1. Выполнен анализ литературы по теме исследования.
2. Выделены основные теоретические понятия, используемые в работе.
3. Изучены основные способы решения задач.
4. Подобраны и решены задачи по данной теме.

 

Список литературы

 

1. Демидович Б.П. сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб.пособие. – 13-е изд., испр. – М.: Изд-во Моск. Ун-та, ЧеРо, 1997. – 624с.
2. Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу. — М.: Высшая школа, 1966.
3. Зорич В. А. Математический анализ. Часть II. М.: Наука, 1984. 640 с.
4. Камынин Л. И. Курс математического анализа (в двух томах). М.: Издательство Московского Университета, 2001.
5. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
6. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т.1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Ряды. Учебник. – 3-е изд., перераб. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 400 с.
7. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.III. М., Наука, 1956.- 656 стр. с ил.

Размещено на Allbest.ru