Лекции по "Алгебре"

    Исторический  аспект важности результатов, полученных Геделем, состоит в том, что к  этому моменту существовали обширные системы аксиом, что все методы доказательства, существующие в математике, были сведены к небольшому числу аксиом и правил вывода. Поэтому разумно было предположить, что этих аксиом и правил вывода будет достаточно, чтобы получить ответ на любой математический вопрос, который вообще может быть поставлен в этих системах. В теореме было показано, что это не так, что в системах имеются проблемы – и даже очень простые, относящиеся к теории целых чисел. И это обстоятельство не связано ни с какой специфической природой систем, напротив, оно имеет место для широкого класса формальных систем, к которым в частности, принадлежат все системы, полученные из базовых, путем присоединения к ним конечного числа аксиом, если это присоединение не приводит к тому, что доказуемым становится какое-либо ложное предложение.

    Для доказательства своей теоремы Гедель строит формальную систему, родственную формальной арифметике. Показывает рекурсивность функций сложения, умножения и возведения в степень. Отталкиваясь от этих утверждений, Гедель вводит способ сведения любой формулы к формальной арифметике, и показывает простые алгоритмы определения истинности или ложности формулы (используется классическое определение формулы). А потом строит высказывание, которое не является ни доказуемым, ни недоказуемым в рамках этой формальной системы. Тем самым показывается неполнота непротиворечивой формальной системы. Наличие в системе содержательно истинной, но формально недоказуемой формулы говорит о неполноте системы, в данном случае области арифметики натуральных чисел. Следовательно, если арифметика непротиворечива, то она неполна. А если она противоречива, то понятие теоремы в ней лишается смысла, т.к. в противоречивой системе доказуема любая ее формула. Из всего сказанного следует вывод: невозможно доказывать непротиворечивость арифметики, средствами, формализуемыми в самой арифметике. Это касается любой формальной теории, содержащей математику.

    Открытия  Геделя положили начало исследованиям  о некоторой внутренней ограниченности регулярных процедур дедуктивного и математического характера и о невозможности представления процесса расширения знания в виде завершенной формальной системы.