Лекции по "Высшей математике"

Замечание 2. Назовем разностью  матриц А и В матрицу С, для которой С + В =А, т.е. С = А + (-1)В.

Пример.

. Тогда  

 

Перемножение  матриц.

Выше было указано, что  сложение матриц накладывает условия  на размерности слагаемых. Умножение  матрицы на матрицу тоже требует  выполнения определенных условий для  размерностей сомножителей, а именно: число столбцов первого множителя  должно равняться числу строк  второго.

Определение 3.6. Произведением матрицы А размерности mp и матрицы В размерности  называется матрица С размерности , каждый элемент которой  определяется формулой:  Таким образом, элемент  представляет собой сумму произведений элементов i-й cтроки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

Пример.

. При этом существует  произведение АВ, но не существует  произведение ВА. Размерность матрицы С=АВ составляет  Найдем элементы матрицы С:

Итак,

Теорема 3.1 (без доказательства). Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.

Замечание. Операция перемножения матриц некоммутативна, т.е.  Действительно, если существует произведение АВ, то ВА может вообще не существовать из-за несовпадения размерностей (см. предыдущий пример). Если существуют и АВ, и ВА, то они могут иметь разные размерности (если ).

Для квадратных матриц одного порядка произведения АВ и ВА существуют и имеют одинаковую размерность, но их соответствующие элементы в  общем случае не равны.

Однако в некоторых  случаях произведения АВ и ВА совпадают.

Рассмотрим произведение квадратной матрицы А на единичную матрицу Е того же порядка:

Тот же результат получим  и для произведения ЕА. Итак, для  любой квадратной матрицы А АЕ = ЕА =А.

Обратная матрица.

Определение 3.7. Квадратная матрица А называется вырожденной, если , и невырожденной, если .

Определение 3.8. Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается .

Рассмотрим условие существования  матрицы, обратной к данной, и способ ее вычисления.

Теорема 3.2. Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной.

Доказательство.

1)      Необходимость: так как  то  (теорема 3.1), поэтому

2)      Достаточность: зададим матрицу  в следующем виде:

.

Тогда любой элемент произведения  (или ), не лежащий на главной диагонали, равен сумме произведений элементов одной строки (или столбца) матрицы А на алгебраические дополнения к элементам друго столбца и, следовательно, равен 0 (как определитель с двумя равными столбцами). Элементы, стоящие на главной диагонали, равны  Таким образом,

=. Теорема доказана.

Замечание. Сформулируем еще  раз способ вычисления обратной матрицы: ее элементами являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А, деленные на ее определитель.

Пример.

Найдем матрицу, обратную к

следовательно, матрица А невырожденная. Найдем алгебраические дополнения к ее элементам: 

Не забудем, что алгебраические дополнения к элементам строки матрицы А образуют в обратной матрице столбец с тем же номером. Итак,  Можно убедиться, что найденная матрица действительно удовлетворяет определению  Найдем

Тот же результат получим  и при перемножении в обратном порядке.

Решение линейных систем с помощью обратной матрицы.

Рассмотрим линейную систему (2.3):  и введем следующие обозначения:

- матрица системы, - столбец  неизвестных,

- столбец свободных членов. Тогда систему (2.3) можно записать  в виде матричного уравнения:  АХ = В. (3.1)

Пусть матрица А — невырожденная, тогда существует обратная к ней матрица

Умножим обе части равенства (3.1) слева на  Получим

Но  тогда , а поскольку (3.2)

Итак, решением матричного уравнения (3.1) является произведение матрицы, обратной к А, на столбец свободных членов системы (2.3).

Метод Гаусса для  решения систем линейных уравнений.

Пусть задана система m линейных уравнений с n неизвестными общего вида  

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2...............................am1x1+am2x2+...+amnxn=bm(1)

Прямой ход  метода Гаусса: 

С помощью элементарных преобразований над строками и перестановкой  столбцов, расширенная матрица системы (1) может быть приведена к виду 

A=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜a′110...00...0a′12a′22...00...0............0......a′1ra′2r...a′rr0...0a′1,r+1a′2,r+1...a′r,r+10...0............0......a′1na′2n...a′rn0...0⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟;(2).

Матрица (2) является расширенной матрицей системы 

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a′11x1+a′12x2+...+a′1rxr+a′1,r+1xr+1+...+a′1nxn=b′1a′22x2+...+a′2rxr+a′2,r+1xr+1+...+a′2nxn=b′2..............................a′rrxr+a′r,r+1xr+1+...+a′rnxn=b′r0=b′r+10=b′r+2........0=b′m(3)

 

которая эквивалентна исходной системе.

Обратный ход  метода Гаусса:

Если хотя бы одно из чисел b′r+1,...,b′m отлично от нуля, то системы (3) и, следовательно, и исходная система (1) несовместны. Если же  b′r+1=...=b′m=0, то система совместна и из формул (3) можно выразить базисные неизвестные через свободные неизвестные xr+1,...,xn.

Примеры: 

Методом Гаусса исследовать  совместность и найти общее решение  следующих систем:

3.240. 

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪x1+2x2+3x3+4x4=07x1+14x2+20x3+27x4=05x1+10x2+16x3+19x4=−23x1+5x2+6x3+13x4=5

Решение.

Запишем расширенную матрицу: 

⎛⎝⎜⎜⎜17532141053201664271913||||00−25⎞⎠⎟⎟⎟.

Производя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы  получаем:

⎛⎝⎜⎜⎜17532141053201664271913||||00−25⎞⎠⎟⎟⎟∼(I×3) ⎛⎝⎜⎜⎜375361410592016612271913||||00−25⎞⎠⎟⎟⎟∼(IV−I) ⎛⎝⎜⎜⎜375061410−192016−31227191||||00−25⎞⎠⎟⎟⎟∼(I×53) ⎛⎝⎜⎜⎜5750101410−1152016−32027191||||00−25⎞⎠⎟⎟⎟∼(III−I;I:5) ⎛⎝⎜⎜⎜17002140−13201−3427−11||||00−25⎞⎠⎟⎟⎟∼(I×7) ⎛⎝⎜⎜⎜770014140−121201−32827−11||||00−25⎞⎠⎟⎟⎟∼(II−I;I:7) 

⎛⎝⎜⎜⎜1000200−13−11−34−1−11||||00−25⎞⎠⎟⎟⎟∼(III+II;II:−1) ⎛⎝⎜⎜⎜1000200−1310−341−21||||00−25⎞⎠⎟⎟⎟∼ ⎛⎝⎜⎜⎜10002−1003−310411−2||||050−2⎞⎠⎟⎟⎟.

Система совместна.

Обратный ход метода Гаусса:

−2x4=−2⇒x4=1;

x3+x4=0⇒x3=−x4=−1;

−x2−3x3+x4=5⇒x2=−3x3+x4−5=3+1−5=−1

x1+2x2+3x3+4x4=0⇒x1=−2x2−3x3−4x4=2+3−4=1.

Ответ: x1=1;x2=−1;x3=−1;x4=1.

 

 

3.241.

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x1+x2=1x1+x2+x3=4x2+x3+x4=−3x3+x4+x5=2x4+x5=−1

Решение.

Запишем расширенную матрицу: 

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜1100011100011100011100011|||||14−32−1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟.

Производя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы  получаем:

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜1100011100011100011100011|||||14−32−1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟∼(II−I)

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜1000010100011100011100011|||||13−32−1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟∼(IV−II−V)

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜1000010100011000010100001|||||13−30−1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟∼

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜1000011000011000101000010|||||1−33−10⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟.

Система совместна.

Обратный ход метода Гаусса:

x5=c;

x4+x5=−1⇒x4=−1−x5=−1−c;

x3=3

x2+x3+x4=−3⇒x2=−3−x3−x4=−3−3+1+c=−5+c.

x1+x2=1⇒x1=1−x2=1+5−c=6−c

Ответ: x1=6−c;x2=−5+c;x3=3;x4=1−c;x5=c.

Матрицы. Операции над  матрицами

Прямоугольной матрицей размера m´n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Мы будем записывать матрицу в виде                  

                                                (4.1)

или сокращенно в  виде A = (a _{i j} ) (i = ; j = ). Числа a _{i j}, составляющие данную матрицу, называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй - на номер столбца. Две матрицы A = (a _{i j} ) и B = (b _{i j} ) одинакового размера называются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B, если a _{i j} = b _{i j}.

Матрица, состоящая  из одной строки или одного столбца, называется соответственно вектор-строкой или вектор-столбцом. Вектор-столбцы и вектор-строки называют просто векторами.

Матрица, состоящая  из одного числа, отождествляется с  этим числом. Матрица размера m´n, все элементы которой равны нулю, называются нулевой матрицей и обозначается через 0. Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали. Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными матрицами и записываются так:

.

Если все элементы a _{i i} диагональной матрицы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е:                                                                          

  .

Квадратная матрица  называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной  диагонали, равны нулю. Транспонированием  называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы  меняются местами с сохранением  их номеров. Обозначается транспонирование значком Т наверху.

Пусть дана матрица (4.1). Переставим строки со столбцами. Получим  матрицу

,

которая будет транспонированной  по отношению к матрице А. В  частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.

Произведением матрицы  А на число l называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих  элементов матрицы А умножением на число l: l A = (l a _{i j} ).

Суммой двух матриц А = (a _{i j} ) и B = (b _{i j} ) одного размера называется матрица C = (c _{i j} ) того же размера, элементы которой определяются по формуле c _{i j} = a _{i j} + b _{i j}.

Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется в предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Произведением двух матриц А = (a _{i j} ) и B = (b _{j k} ), где i = , j= , k= , заданных в определенном порядке АВ, называется матрица С = (c _{i k} ), элементы которой определяются по следующему правилу:

c _{i k} = a _{i 1} b _{1 k} + a _{i 2} b _{2 k} +... + a _{i m} b _{m k} = a _{i s} b _{s k}.                    (4.2)

Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются следующим  образом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.

Пример 2.1. Найти  произведение матриц  и .

Решение. Имеем: матрица А размера 2´3, матрица В размера 3´3, тогда произведение АВ = С существует и элементы матрицы С равны  
с ₁₁ = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8,          с ₂₁ = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5,         с ₁₂ = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7,

с ₂₂ =3×2 + 1×0 + 0×5 = 6,          с ₁₃ = 1×3 + 2×1 + 1×4 = 9,         с ₂₃ = 3×3 + 1×1 + 0×4 = 10.

, а произведение BA не существует.

Пример 2.2. В таблице указано количество единиц продукции, отгружаемой ежедневно на молокозаводах 1 и 2 в магазины М ₁, М ₂ и М ₃, причем доставка единицы продукции с каждого молокозавода в магазин М ₁ стоит 50 ден. ед., в магазин М ₂ - 70, а в М ₃ - 130 ден. ед. Подсчитать ежедневные транспортные расходы каждого завода.

Молокозавод	Магазин
	М 1	М 2	М 3
1	20	35	10
2	15	27	8

Решение. Обозначим  через А матрицу, данную нам в  условии, а через  
В - матрицу, характеризующую стоимость доставки единицы продукции в магазины, т.е.,

,

Тогда матрица затрат на перевозки будет иметь вид:

.

Итак, первый завод  ежедневно тратит на перевозки 4750 ден. ед., второй - 3680 ден.ед.

Пример 2.3. Швейное  предприятие производит зимние пальто, демисезонные пальто и плащи. Плановый выпуск за декаду характеризуется вектором X = (10, 15, 23). Используются ткани четырех  типов Т ₁, Т ₂, Т ₃, Т ₄. В таблице приведены нормы расхода ткани (в метрах) на каждое изделие. Вектор С = (40, 35, 24, 16) задает стоимость метра ткани каждого типа, а вектор P = (5, 3, 2, 2) - стоимость перевозки метра ткани каждого вида.

Изделие	Расход  ткани
	Т 1	Т 2	Т 3	Т 4
Зимнее пальто	5	1	0	3
Демисезонное пальто	3	2	0	2
Плащ	0	0	4	3

1. Сколько метров  ткани каждого типа потребуется  для выполнения плана ?

2. Найти стоимость  ткани, расходуемой на пошив  изделия каждого вида.

3. Определить стоимость  всей ткани, необходимой для  выполнения плана. 

4. Подсчитать стоимость  всей ткани с учетом ее транспортировки. 

Решение. Обозначим  через А матрицу, данную нам в  условии, т. е.,

,

тогда для нахождения количества метров ткани, необходимой  для выполнения плана, нужно вектор X умножить на матрицу А:

Стоимость ткани, расходуемой  на пошив изделия каждого вида, найдем, перемножив матрицу А и  вектор C ^T :

.

Стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана, определится по формуле:

Наконец, с учетом транспортных расходов вся сумма  будет равна стоимости ткани, т. е. 9472 ден. ед., плюс величина