Лекции по "Математике"

Математика курс лекций, примеры решения задач

Полярная система координат. Переход  от полярных координат к декартовым и обратно. Построение кривой, определяемой уравнением в полярных координатах 

В полярной системе координат основными  постоянными элементами, по отношению  к которым определяется положение  точки на плоскости, является точка O - полюс и ось OP, которая называется полярной осью.

Если M - произвольная точка плоскости, не совпадающая с полюсом O, то ее положение на плоскости вполне определено заданием двух чисел: r - ее расстояния от полюса, выраженного в единицах масштаба, и   - угла, на который следует повернуть полярную ось против часовой стрелки, чтобы она совпала с лучом OM. Числа r и   называются полярными координатами точки M. Из них первой координатой считается r, а второй  . Координата r называется полярным радиусом точки M (иногда радиус-вектором точки M), а координата   - ее полярным углом (полярный угол измеряется в радианах). Полярные координаты записываются в скобках справа от ее обозначения, причем на первом месте в скобках записывается координата r, а на втором - координата  , например,  . Полярный угол   считается положительным, если он отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки, и отрицательным, если он отсчитывается от полярной оси по часовой стрелке.

В определенной таким образом полярной системе координат полярный радиус r - всегда величина положительная или равная нулю ( ), так как под r понимается расстояние от полюса O до точки M, а расстояние, как и всякая длина, не может быть отрицательным.

Однако на практике удобнее пользоваться такой системой полярных координат, в которой полярный радиус r может принимать и отрицательные значения. Система полярных координат, в которой полярный радиус r может принимать любые значения (положительные, отрицательные и равные нулю), называется обобщенной системой полярных координат. Этой системой мы и будем пользоваться.

Если точка M имеет координаты +r и  , то она имеет также и координаты -r и  , так как угол   характеризует направление полярного радиуса, прямо противоположное тому, которое соответствует углу  .

Отметим, что какой бы из двух систем полярных координат мы не использовали, всегда паре чисел r и   соответствует на плоскости единственная точка.

Если полюс полярной системы  координат находится в начале прямоугольной системы координат, а положительная полуось Ox совпадает с полярной осью, ось же Oy перпендикулярна оси Ox и направлена так, что ей соответствует полярный угол  , то по известным полярным координатам точки ее прямоугольные координаты вычисляются из формул

(1)

Число A называем пределом слева (справа) функции f в точке x₀ и обозначаем

f(x₀ - 0)(f(x₀ + 0))или .

Функция f имеет предел в точке x₀ тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равные между собой пределы слева и справа.

Критерий Коши. Функция f имеет конечный предел в точке x₀ тогда и только тогда, когда

Особую роль играют два замечательных  предела:

Если  , то

 

Ограниченность функции

Функция  , называется ограниченной на множестве X, если существуют числа m и M такие, что  .

Число   называется точной нижней гранью функции f, а число   - точной верхней гранью функции f на множестве M. Разность M₀ - m₀называется колебанием функции f на множестве X.

Если функция f: X → R имеет конечный предел в точке  , то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

Преобразование прямоугольных  координат. Параллельный перенос координатных осей без изменения их направления

 

Преобразованием системы координат  называется переход от одной системы  координат к другой.

При такой замене надо установить формулы, позволяющие по известным  координатам точки в одной  системе координат определить ее координаты в другой.

Главной целью преобразования координат  является определение такой координатной системы, в которой уравнение  данной линии становится наиболее простым. Удачным расположением координатных осей можно добиться того, чтобы  уравнение кривой приняло наиболее простой вид. Это имеет важное значение для исследования свойств кривой.

Преобразование уравнения кривой второго порядка к простейшему  виду достигается в общем случае 1) параллельным переносом координатной системы без изменения направления  осей и 2) поворотом осей.

Если имеются две системы  прямоугольных координат с разными  началами, оси которых параллельны  и одинаково направлены, то между  координатами одной и той же точки  в этих системах существует зависимость

где x, y - координаты точки в первоначальной системе координат, x₁, y₁ - ее координаты в новой системе координат, а x₀, y₀ - координаты нового начала O₁ в первоначальной системе координат.

Эти формулы позволяют определить первоначальные координаты точки x и y, если известны ее новые координаты и координаты нового начала в первоначальной системе координат.

Для обратного перехода от первоначальных к новым служат формулы

Первоначальную систему координат  иногда называют исходной, иногда - старой.

Преобразование координат  поворотом координатных осей без  изменения начала координат

 

Если   - угол поворота, x и y - первоначальные координаты точки, x₁ и y₁ - координаты той же точки в новой, повернутой системе координат, то имеют место формулы

и

Найти уравнение плоскости, параллельной оси Oz и проходящей через точки A(2, 3, -1) и B(-1, 2, 4).

Найти уравнение плоскости, параллельной плоскости xOy и проходящей через точку A(1, 2, -4).

Составить уравнение плоскости, перпендикулярной оси Ox и проходящей через точку A(3, 7, -1).

Найти уравнение плоскости, проходящей через ось Ox и через точку A(2, 1, 3).

Какие отрезки на координатных осях отсекает плоскость 2x + 3y - 5z + 30 = 0?

Уравнение плоскости 2x + 3y - 4z + 24 = 0 преобразовать  к виду x/a + y/b + z/c = 1 в отрезках на осях.

Уравнение плоскости 5x + 7y - 34z + 5 = 0 привести к нормальному виду.

Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость 10x + 15y - 6z - 380 = 0, и углы, образуемые этим перпендикуляром с координатными  осями.

Найти расстояние от точки A(2, 3, -1) до плоскости 7x - 6y - 6z + 42 = 0.

Найти расстояние между параллельными  плоскостями 5x + 3y - 4z + 15 = 0; 15x + 9y - 12z - 5 = 0.

Через точку M(2, 3, -1) провести плоскость, параллельную плоскости 2x - 3y + 5z - 4 = 0.

Через точки M(1, 2, 3) и N(-2, -1, 3) провести плоскость, перпендикулярную плоскости  x + 4y - 2z + 5 = 0.

Найти острый угол между двумя плоскостями 5x - 3y + 4z - 4 = 0, 3x - 4y - 2z + 5 = 0.

Выяснить геометрический смысл  коэффициентов A, B и C в общем уравнении  плоскости Ax + By + Cz + D = 0.

Найти следы плоскости 3x + 2y - 4z + 5 = 0 на координатных плоскостях.

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки M₁(1, 2, -1); M₂(-1, 0 , 4); M₃(-2, -1, 1).

Построить точку M с координатами (3, + π/4) в полярной системе координат.

Построить в полярной системе координат  точку M(1, 3π/4).

Построить в полярной системе координат  точку M(-2, 5π/4).

Прямоугольные координаты точки A(2, 3). Найти ее полярные координаты.

Найти прямоугольные координаты точки A, полярные координаты которой (2, π/4).

Найти прямоугольные координаты точки, полярные координаты которой A(-3, 5π/4).

Составить уравнение прямой линии  в полярных координатах.

Построить кривую r = a cos 2φ и найти ее уравнение в прямоугольной системе координат.

Построить кривую (x² + y²)² = 2ax³ (a > 0).

Координаты точки относительно некоторой системы координат  x = 2, y = -1. Чему будут равны координаты этой точки, если сохраняя направления осей, перенести начало координат в точку (7, -4).

Относительно двух систем координат  xOy и x₁O₁y₁, имеющих одно и то же направление осей, координаты некоторой точки (12, -7) и (0, 15). Чему равны координаты начала каждой из этих систем относительно другой?

Уравнение y = ax² + bx + c преобразовать так, чтобы в преобразованном виде оно не содержало члена с первой степенью x и свободного члена.

Упростить уравнение параболы y = x² - 7x + 12, найти координаты ее вершины и начертить эскиз кривой.

Привести к простейшему виду уравнение параболы y = 2x² + 4x + 5 и найти координаты ее вершины.

Из точки O под углом α к горизонту брошена материальная точка с начальной скоростью v₀. Найти: 1) уравнение траектории полета, 2) высоту подъема, 3) дальность полета (сопротивление воздуха в расчет не принимать).

Привести к простейшему виду уравнение x² + 2y² - 5x + 4y - 6 = 0.

Чему будут равны координаты точки   , если повернуть оси координат на угол   без изменения начала координат?

Координатные оси прямоугольной  системы координат переносятся  без изменения направления осей в точку O₁(3, -1) и поворачиваются на угол 30^°. Найти новые координаты точки A, если старые ее координаты были A(3, 4).

Какой вид примет уравнение равносторонней гиперболы x² - y² = a², если оси координат повернуть на угол φ = -45^°?

Преобразовать дробно-линейную функцию  y = (2x + 3)/(3x + 4) так, чтобы в преобразованном виде она не содержала членов первого измерения, и начертить эскиз кривой.

Найти углы, которые прямая (x - 5)/2 = (y + 1)/3 = (z - 4)/6 составляет с координатными осями.

Общие уравнения прямой   преобразовать к каноническому виду.

Уравнения прямой   преобразовать к каноническому виду и определить углы, образуемые этой прямой с координатными осями.

Найти уравнения плоскостей, проектирующих  прямую   на координатные плоскости.

Составить уравнение окружности, проходящей через полюс системы координат, центр которой C лежит на полярной оси, а радиус равен R, и найти уравнение  этой окружности в прямоугольных  координатах.

Отрезок AB неизменной длины 2l скользит своими концами по сторонам прямого  угла. Из вершины угла на этот отрезок  опущен перпендикуляр OC. Найти геометрическое место оснований таких перпендикуляров. Построить кривую и найти ее уравнение  в прямоугольных координатах.

Найти уравнение геометрического  места точек, произведение расстояний которых до двух данных точек A и B есть величина постоянная, равная a². Длину AB считать равной 2a.

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек.

Найти расстояние от начала координат  до прямой x + y - 2 = 0.

Найти расстояние от точки (2, 5) до прямой 6x + 8y - 5 = 0.

Найти расстояние между двумя параллельными  прямыми 3x + 4y - 12 = 0 и 3x + 4y + 13 = 0.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку (-4, 3) и удаленной от начала координат на расстояние 5 единиц.

Через точку (-1, 2) провести прямую, расстояние от которой до точки (3, -1) равно 2 единицы.

Через точку M₁(1, 2) провести прямую, расстояния до которой от точек M₂(2, 3) и M₃(4, -5) были бы равны.

Дана прямая 4x + 3y + 1 = 0. Найти уравнение  прямой, параллельной данной и отстоящей  от нее на 3 единицы.

 

Найти расстояние от начала координат  до прямой x + y - 2 = 0.

Найти расстояние от точки (2, 5) до прямой 6x + 8y - 5 = 0.

Найти расстояние между двумя параллельными  прямыми 3x + 4y - 12 = 0 и 3x + 4y + 13 = 0.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку (-4, 3) и удаленной от начала координат на расстояние 5 единиц.

Через точку (-1, 2) провести прямую, расстояние от которой до точки (3, -1) равно 2 единицы.

Через точку M₁(1, 2) провести прямую, расстояния до которой от точек M₂(2, 3) и M₃(4, -5) были бы равны.

Дана прямая 4x + 3y + 1 = 0. Найти уравнение  прямой, параллельной данной и отстоящей  от нее на 3 единицы.

Построить прямые: а) x + 2y - 4 = 0; б) 2x - 3y + 6 = 0; в) y = 3x + 2; г) y = -2x; д) 2x + 3y = 0; е) x/4 + y/5 = 1; ж) x/2 - y/4 = 1; з) 3x/5 - 4y/5 - 4 = 0; и) y = 2; к) x + 3 = 0.

Общее уравнение прямой 4x - 3y + 12 = 0 представить  в виде: 1) с угловым коэффициентом; 2) в отрезках на осях и 3) в нормальном виде. Построить эту прямую.

Под каким углом прямая y = x + 2 пересекает ось Ox?

Найти уравнение биссектрисы первого  и третьего координатных углов.

Прямая проходит через точку (2, -3) и отсекает на оси ординат отрезок b = 3. Найти ее уравнение.

Написать уравнение прямой, отсекающей на координатных осях Ox и Oy отрезки a = 3 и b = 4.

Указать особенности в расположении относительно координатных осей прямых: 1) 2x - 5y = 0; 2) 3x - 2 = 0; 3) 7y + 12 = 0; 4) 5x = 0; 5) 3y = 0.

Уравнение прямой x + 3y - 4 = 0 привести к нормальному виду.

Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую 3x - 6y + 5 = 0, а также координаты основания  этого перпендикуляра.

Найти равнодействующую двух сил   и  , модули которых равны F₁ = 5, F₂ = 7, угол между ними θ = 60^°. Определить также углы α и β, образуемые равнодействующей с силами   и  .

При каких значениях α и β вектор   перпендикулярен вектору  , если  ?

Векторы   лежат в одной плоскости и образуют попарно друг с другом углы 2π/3. Разложить вектор   по векторам   и  , если  .

Определить координаты точки C - середины вектора   по известным радиусам-векторам его концов A и B.

Даны два вектора:   и  . Найти проекции на координатные оси суммы и разности этих векторов.

Дан треугольник ABC. Прямая l пересекает прямые BC, CA, AB в точках A₁, B₁, C₁. Доказать, что векторы   коллинеарны.

Вектор   задан координатами своих концов A и B: A(2, 1, -4); B(1, 3, 2). Найти проекции вектора   на координатные оси и его направляющие косинусы.

Найти проекцию вектора   на ось L, которая составляет с координатными осями углы λ, μ и ν.